Probleme Capitolul 6 rezolvare de algebră liniară, optimizare și regresie
Soluția problemelor de algebră liniară, optimizare și regresie
Probleme de algebră liniară, optimizare și regresie - una dintre cele mai populare în domeniul științei, tehnologiei și educației [37, 39-46]. Ele fac obiectul acestui capitol. Acesta oferă definițiile de bază ale algebrei liniare, elementele de bază de lucru cu matrici, vectori și matrici, funcții pentru lucrul cu vectori și matrici și pentru a rezolva sisteme de ecuatii liniare. Descrierea mijloacelor de optimizare, inclusiv cel mai nou sistem Maple 10.
Înainte de a porni la vastele posibilități de pachete de arțar în soluția problemelor algebra liniară, ia în considerare definițiile succinte referitoare la acestea.
Matricea (m x n) - tabel dreptunghiular dimensional care cuprinde m linii și n coloane de elemente, fiecare dintre acestea putând fi reprezentate printr-un număr, o constantă, variabilă sau expresie matematică simbolice (matrice interpretare largă).
O matrice pătrată - matrice în care numărul m de rânduri egal cu numărul n de coloane. EXEMPLUL dimensiune 3 × 3 matrice pătrat:
Determinantul matricei - un polinom în elementele unei matrice pătratică, fiecare membru al care este produsul de n elemente luate unul câte unul din fiecare rând și fiecare coloană cu semnul produsului, specificați permutarea paritate:
în care M1
Singular (degenerate) matrice - o matrice pătrată a cărei determinant (determinantul) este 0. O astfel de matrice nu este de obicei simplificat cu calcul simbolic. ecuații liniare cu matrici aproape singulare pot produce erori mari în soluție.
Matricea de identitate - este o matrice pătrată ale cărei elemente diagonale sunt egale cu 1, iar restul elementelor sunt 0. Următoarele este matricea identitate de 4 × 4:
Valorile singulare ale matricei A - rădăcinile pătrate ale valorilor proprii ale matricei transpusa (A) # 8729; A, în cazul transpusa (A) - a transpus matricea A (vezi definiția de mai jos ea.).
Matricea transpusă - matricea ale cărei linii și coloane sunt interschimbate, adică elementele de matrice transpusa satisface condiția A T (i, j) = A (j, i). Aici este un exemplu simplu.
Inversa Matricea - o matrice de M-1. care, atunci când este multiplicată cu matricea pătrată inițial M dă matricea identitate E.
Forma în trepte a matricei corespunde condiției în care primul element nenul din fiecare rând este 1, iar primul element nenul apare în dreapta fiecărei linii din primul element nenul din linia anterioară, adică toate elementele de mai jos, un prim rând nenulă - zerouri.
Diagonal matrice - aranjate pe diagonală elemente Ai, i al matricei A. Matricea de mai jos elementele diagonale sunt reprezentate prin litere majuscule:
De obicei, numita diagonal numita diagonalei principale - pentru matricea A, de mai sus, este diagonală cu elementele A, E și L. introdus uneori poddiagonaley conceptul (elemente d și k) și naddiagonaley (componentele b și f). Matricea ale cărui elemente sunt toate aranjate, cu excepția pe naddiagonali diagonală, și subdiagonal sunt zero, numit bandă.
Rangul matricei - cea mai mare dintre ordinele minorilor nenule ale unei matrice pătrate.
Trace matricei - suma elementelor diagonale.
Matricea în întreaga măsură - matrice pătrată în gradul n (n - număr întreg nenegativ) definit după cum urmează: E = M0. M1 = M. M2 = MM, ..., Mn = Mn-1M.
matrice idempotente - matrice condiție corespunzătoare = F. radicalul R
Simetrică matrice - matrice care corespunde condiției A = Am.
Skew-simetrice matrice - matrice corespunzătoare condiție Am = -A.
Orthogonal matrice - matrice care corespunde condiției A = AM1.
Zero matrice - matrice ale cărei elemente sunt egale cu 0.
Block matrice - matrice compusă din matricele de dimensiuni mai mici, pot fi, de asemenea, reprezentat ca o matrice, în care fiecare element - matrice. Un caz particular este un bloc diagonală matrice - bloc matrice, elemente din care matricea este diagonală - matrice nulă.
Complex-conjugat matrice - matrice # 256;. derivată din matricea originală prin înlocuirea elementelor sale de conjugat complex.
matrice Hermitian - matricea A satisface # 256; = Am.
Vectorului propriu matrice pătratică A - orice vector x ∈Vn. x ≠ 0 satisfăcând Ax ecuație = # 947; s. unde # 947; - un număr numit de A. valori proprii
Polinomul caracteristic al matricei - factor determinant al diferenței dintre matrice și matricea identitate înmulțită cu un polinom variabil - | A - # 947; E |.
- valori proprii rădăcinile polinom caracteristic.
Norma - noțiunea generală a valorii absolute a numărului.
norma vector dimensional || x || - lungimea sa.
Norma Matrix - Valoarea sup (|| Ax || / || x ||).
Matricea formează un sistem de ecuații liniare - expresie A # 8729; X = B. unde A - matricea coeficienților, X - vector de necunoscute și B - vector de membri liberi. O metodă de rezolvare a unui astfel de sistem este evident - X = A -1 # 8729; In. unde A1 - matricea inversă.
După cum știți, sistemul obișnuit de ecuații liniare este de forma:
Aici a1,1. a1,2. ..., o, n - factori care formează matricea A, și care pot fi valori reale sau complexe, x1. x2. ... HN- necunoscut, formează un vector X și b1. b2. ..., bn - membri liberi (complexe reale sau) care formează V. vectorul Acest sistem poate fi reprezentat într-o formă de matrice ca Ax = B. unde A - matricea coeficientul de ecuații, X - vectorul necunoscut al necunoscutelor și B - vector de membri liberi. Dintr-o astfel de sistem de reprezentare de ecuații liniare care apar diferite metode pentru soluția: X = B / A (cu utilizarea unei divizări matrice), X = A-1B (matrice inversat A) și așa mai departe.
În cursul rezolvării problemelor de algebră liniară este adesea necesar să se utilizeze o varietate de metode, cum ar fi un bine-cunoscut chiar și de eliminare Gauss școală. Cu toate acestea, pentru a aborda în mod eficient aceste probleme, este necesar să se reprezinte matricea într-un mod special, care transportă descompunerea matricei. În cursul acestei trebuie să lucrăm cu unele tipuri speciale de matrice, care sunt de multe ori simplifică dramatic soluția sistemelor de ecuații liniare. Să ne amintim câteva dintre cele mai comune descompunerile matrice, care sunt puse în aplicare în majoritatea SKA și CSM.
LU-descompunere, de asemenea, numit descompunerea triunghiulară corespunde expresiei matricei a formei P # 8729; A = L # 8729; U. unde L - și U inferior - matrice superior triunghiulară. Toate matricele din această expresie pătrat.
QR-descompunere ia forma A = Q # 8729; R. unde Q - o matrice ortogonala, un R - matrice superior triunghiulară. Această expansiune este adesea folosit pentru a rezolva orice sistem de ecuații liniare, inclusiv supradeterminat și underdetermined și cu o matrice dreptunghiulară.
Descompunerea HoletskogoA = L # 8729; LT este aplicată matricea simetrică în care L - o matrice triunghiulară.
O descompunere singulară valoare a dimensiunii matricei M x N (M x N) este dată de A = U # 8729; s # 8729; VT. unde U și V - dimensiune matrice ortogonale N x N și M × M. respectiv, o s - o matrice diagonală cu valorile singulare pe diagonala matricei A.
Elemente de vectori și matrici în Maple sunt variabile indexate, adică amplasarea fiecărui element al vectorului este determinat de indicele și matricea - cei doi indici. De obicei, ele sunt în mod colectiv notate ca i (numărul de matrice rând sau o secvență din numărul elementului vector) și j (matricea număr coloană). Admisă de funcționare apel elementul dorit și atribuind o nouă valoare pentru ea:
V [i] - apel elementul i-lea al vectorului V;
M [i, j] - apel matricea elementului M aranjat pe rândul i-lea din coloana j--lea.
V [i]: = x - atribuirea unei noi valori x i-lea element al vectorului V;
M [i, j]: = x - element de matrice x atribui o valoare nouă M.
În primul rând, ar trebui să acorde o atenție la faptul că vectorii și matrici, deși similare cu listele, dar nu au fost identificate în totalitate cu ei. Acest lucru poate fi văzut prin următoarele exemple (fișier vmop), în care tipul este utilizat pentru a monitoriza mai multe tipuri de obiecte (vectori și matrici)