Calculul integralelor on-line
Metode de constatare integralelor nedefinite
Exemplul 1. Evaluarea ∫ (3x + 15) 17 dx.
Decizie.
erecta binom în gradul al 17-lea este impracticabilă. Bazat pe masa integralei, obținem
.
Exemplul 2. Se calculează.
Decizie.
În mod similar cu cele de mai sus,
.
Exemplul 3. Se calculează.
Decizie. ca
,
atunci.
Exemplul 4. Se calculează
Decizie. deoarece
,
atunci.
Exemplul 5. Se calculează.
Decizie.
Se aplică de substituție. Prin urmare, x-5 = t 2. x = t 2 + 5, dx = 2tdt.
Substituind în integralei,
.
Exemplul 6. Se calculează ∫ x 2 e x dx.
Decizie.
Fie u = x 2. V = e x dx; Apoi du = 2xdx, v = e x. Aplicăm formula de integrare de către părți.
2 ∫ x e x dx = x 2 e x - 2 ∫ xeX.
Am realizat o putere de reducere a x de unul. Pentru a găsi ∫ xeX. se aplică o dată integrarea de către părți. Presupunem u = x. dv = e x dx; Apoi du = dx. v = e x și
∫ xe x = x 2 e x -2xe x + 2e x + C.
Exemplul 7. Se calculează
.
Reshenie.Vydelyaya parte întreg, obținem
.
Având în vedere că x 2 + 5x 4 + 4 = (x 2 + 1) (x 2 + 4) obține extinderea pentru al doilea termen
Ceea ce duce la un numitor comun. obținem egalitatea numărătorii:
-5x 2 - 4 = (Ax + B) (x 2 + 4) + (Cx + D) (x 2 + 1).
Asimilarea coeficienții de aceleași puteri ale lui x, obținem
x 3. 0 = A + C
x2. -5 = B + D
x: 0 = 4A + C
x = 0. -4 4B + D
Prin urmare, descoperim A = C = 0. B = 1/3. D = - 16/3.
Substituind coeficienții în extinderea și integrarea, obținem:
.
Exemplul 8. Se calculează
.
Decizie. deoarece
,
integrandul este o funcție rațională a x și; așa că vom introduce de substituție:
; .
de unde
; ; ; .
Prin urmare,
.
Exemplul 9. Se calculează
.
Decizie.
Integrantul depinde în mod rațional sinx (x) și cos (x); tg substituție aplicabil x / 2 = t. atunci
, , și
.
Revenind la variabila vechi, obținem
.
Exemplul 10. Se calculează
.
Decizie.
Efectuăm de înlocuire 1 + 3x 8 = z 2. Apoi
, ;
astfel
.
Trebuie remarcat faptul că înlocuirea unei variabile într-o limite integrante clare de integrare în general, variază.
Exemplul 11. Se calculează integrală improprie
sau dovedesc divergenta acestuia.
Decizie. integrandul
Acesta nu este limitată în vecinătatea lui x = 1. În orice același interval [1 + # 949 ;; e] este integrabil, deoarece este o funcție continuă. prin urmare
.
Exemplul 12. Se calculează integrală improprie
sau dovedesc divergenta acestuia.
Decizie.
Integrandul este continuă și integrabilă pe R. Prin definiție,
converge integral.
Exemplul 13. Găsiți zona figurii delimitat de parabolei y = x 2 și o linie dreaptă x + y = 2.
Decizie.
Ne găsim puncte de intersecție a abscisa parabolei y = x 2 și o linie dreaptă y = 2-x. Rezolvarea ecuației x 2 = 2-x, găsim x1 = -2, x2 = 1. Deoarece figura mărginită deasupra liniei și sub parabolei, găsiți folosind formula cunoscută
.