Ce este interpolare
Interpolarea - această metodă de a găsi valoarea intermediară a valorilor care au un set discret de valori cunoscute.
Interpolarea utilizează valoarea unei funcții definite într-un număr de puncte pentru a prezice valoarea unei funcții între ele. Următoarele metode sunt destinate pentru a crea o serie la o frecvență mai mare pe baza unui număr de observații cu o frecvență redusă. De exemplu, pentru a calcula numărul dinamicii trimestriale pe baza unei serii de date anuale.
Să presupunem că un sistem de puncte distincte xi (i £ 0, 1, ..., N) dintr-o anumită regiune G. Valorile funcției f sunt cunoscute doar la aceste puncte: yi = f (xi), i = 1, ..., N.
Procesul de interpolare constă în găsirea unei funcții f a unei clase de funcții care F (xi) = yi. i = 1, ..., N.
Punctul xi sunt puncte de interpolare, și setul lor - grila de interpolare.
Pereche (xi, yi) sunt punctele de date (puncte de referință).
Diferența dintre „vecin“ valori Δ xi = xi - xi - 1 - numita grilă pas interpolare. Pasul poate fi variabil sau constant.
Funcția F (x) - interpolare funcția (interpolant).
interpolare liniară
Atunci când datele de interpolare liniară existente punctul M (xi. Yi) (i = 0, 1. n) sunt conectate prin linii drepte, iar funcția f (x) se apropie de poligon cu vârfuri la aceste puncte.
Ecuația fiecărui segment al poligonului este în general diferit. Deoarece există n intervale (xi. Xi + 1), pentru fiecare dintre ele ca o ecuație ecuația de interpolare polinomială utilizată a liniei care trece prin cele două puncte. În special, pentru intervalul i-lea se poate scrie ecuația liniei care trece prin punctul (xi yi.) Și (xi + 1, yi + 1.) Sub formă:
interpolare geometrică
Atunci când valorile de interpolare geometrice rezultate dinamică valoare proporțională cu creșterea și invers proporțională cu factorul calculat pe baza sporului. Rata de creștere este dependentă exponențial pe logaritmul creșterii relative a difuzoarelor sursă, înmulțită cu durata perioadei dinamicii rezultante.
Luați în considerare principiul metodei de calcul geometrice pentru exemplu, datele trimestriale bazate pe apr.
X [t] - date sursă de date;
Din aceasta rezultă:
Interpolarea pentru celălalt vorbitor se realizează într-un mod similar.
interpolare spline
Spline poate rezolva în mod eficient problema procesării dependențelor experimentale dintre parametri, având o structură destul de complicată. Utilizarea practică cea mai extinsă, din cauza simplității lor, găsit spline cubi. Ideile de bază ale teoriei spline cubice formate ca urmare a încercărilor de a descrie matematic lamelele flexibile din material elastic (spline mecanice), care a fost mult timp folosit de desenatori în cazurile în care a existat o nevoie de la punctul stabilit curba suficient de netedă. Este cunoscut faptul că grebla un material elastic, fixat la anumite puncte, și care se află în poziția de echilibru, adoptă o formă în care energia este minimă. Această proprietate fundamentală permite utilizarea eficientă a spline în rezolvarea problemelor practice de prelucrare a datelor experimentale.
În general, pentru o y funcție = f (x) este necesară pentru a găsi o aproximare y = φ (x), astfel încât f (xi) = φ (xi) la punctele x = xi. și în alte puncte ale segmentului [a, b] valori ale funcțiilor f (x) și φ (x) au fost apropiate unul de altul. Atunci când un număr mic de puncte de date (de exemplu, 6-8), soluții pentru problema interpolare poate fi utilizată o metodă de construcție a polinoamelor de interpolare. Cu toate acestea, un număr mare de noduri polinoame de interpolare devin practic inutilizabile. Acest lucru se datorează faptului că gradul polinomului de interpolare este doar unul mai puțin decât numărul de valori experimentale ale funcțiilor. Este posibil, desigur, un segment în care este definită funcția, împărțită în porțiuni care cuprind un număr mic de puncte de date, și pentru fiecare dintre ele pentru a construi polinoame de interpolare. Cu toate acestea, în acest caz, funcția aproximându va fi un punct în care derivatul nu este continuu, adică, grafic funcție va conține un „îndoitură“ punct.
spline cubice au acest dezavantaj. Teoria fasciculului de cercetare au arătat că fasciculul subțire flexibilă între două noduri de polinoame cubice se potrivește destul de bine, și deoarece nu este distrus, funcția aproximându trebuie să fie de cel puțin un continuu diferențiabilă. Aceasta înseamnă că funcția cp (x). φ „(x). φ '' (x) trebuie să fie continue pe intervalul [a, b].
interpolare spline corespunzătoare acestei funcții, f (x) și xi noduri de date. este funcția S (x), care îndeplinesc următoarele condiții:
pe fiecare segment [xi -1. xi], i = 1, 2. n funcția S (x) este un polinom de gradul al treilea;
funcția S (x), și primul și al doilea derivatele sunt continue pe intervalul [a, b];
La fiecare din intervalele [xi-1. xi], i = 0, 1. n este funcția S (x) = Si (x) ca un polinom de gradul al treilea:
Condițiile de continuitate a tuturor instrumentelor derivate de până la al doilea ordin scris sub forma:
ai, bi, ci, di - coeficienți spline trebuie determinat pentru toate intervalele elementare n:
Dacă funcția f (x) este un polinom de gradul trei sau mai puțin, sunt reproduse exact mai multe date atunci când spline condițiile limită c 0 și cn sunt valorile exacte ale derivata a doua a unui polinom cub.
Lagrange Interpolarea polinomială
Lagrange de interpolare polinomiale - acesta este un polinom de grad minim, care primește valorile de date într-un anumit set de puncte. Pentru n + 1 perechi de întregi (x 0, y 0), (x 1, y 1), ..., (xn, yn), unde, există tot xi diferit (i = 0, 1. n) L polinom unic (x ) de grad mai mic de n. pentru care L (xi) = yi.
In cel mai simplu caz (n = 1) - este un polinom liniar și graficul acesteia - linia care trece prin cele două puncte date.
Lagrange a propus o metodă de calcul al polinoamelor:
Acolo unde polinoamele de bază se determină prin următoarea formulă:
lj (x) au următoarele proprietăți:
sunt polinoame de gradul n;
Din aceasta rezultă că L (x), ca o combinație liniară lj (x), poate avea un grad de cel mult n. și L (xj) = yj.
interpolare polinomiale
interpolare polinomială este cel mai bine cunoscut de tehnici de interpolare unidimensionale. Avantajele sale sunt ușurința de punere în aplicare și de bună calitate a interpolants.
Această metodă reprezintă un grad n-lea polinomiale P 0, 1, ..., n-1, n. care trece prin punctele (n 0-lea n-lea) ca o funcție a două polinoame n grad -1-lea, folosind formula:
Pentru aceste polinoame aplica recursiv aceeași formulă, atâta timp cât nu ajunge la Pi polinoame. sunt calculate conform formulei Pi = yi.
Avantajul acestei metode este ușurința de implementare, lipsa - viteză relativ scăzută.
interpolare uniformă
Valoarea seriei originale este împărțit la numărul de observații care se încadrează într-o perioadă de numărul rezultat. Valoarea rezultată este atribuită tuturor observațiilor din noua serie, într-o singură perioadă.
re interpolare
Valorile seriei originale de observații sunt repetate la un număr de vorbitori-frecvență mai mare.
model interpolarea
Să intrare - numărul de intrare, ieșire - numărul de ieșire, model - un număr de șablon. Să T pentru rândul data de intrare curentă și pentru n - numărul de serii de ieșire de puncte într-o singură perioadă.
Luați în considerare trei metode de interpolare pe un șablon:
media elementelor
primul element