Definite integrală și metodele de calcul

anterior ◈ următoarea

integral Definite unei funcții f continuă (x) într-un interval finit [a. b] (unde) este incrementul unora dintre primitive sale pe acest segment. (De fapt, înțelegerea mult mai ușor în cazul în care tema repetată nedefinită integrală) este utilizat Această înregistrare

După cum se arată în graficul de jos (funcția primitivă increment desemnată) definită integral poate fi pozitiv sau număr negativ (calculat ca diferența dintre valoarea unui primitiv în limita superioară și este o valoare în limita inferioară, t. E. Ca F (b) - F (a)).

Numerele a și b sunt numite limitele inferioare și superioare de integrare, iar segmentul [a. b] - intervalul de integrare.

Astfel, în cazul în care F (x) - orice funcție primitivă f (x), atunci, prin definiție,

Ecuația (38) este exprimată de Newton Fundamental. Diferența F (b) - F (a) se înregistrează pe scurt după cum urmează:

Prin urmare, formula Newton-Leibniz va fi scris astfel:

Vom dovedi că integrala definită nu depinde de faptul dacă primitivă a integrandul este luată atunci când este evaluată. Fie F (x) și F (x) - primitivelor arbitrare integrandul. Deoarece acest primitivele din aceleași funcții, ele vor diferi de un termen constant: F (x) = F (x) + C. Prin urmare,

Aceasta stabilește că, în intervalul [a. b] incrementează toate funcțiile primitivelor f (x) coincid.

Astfel, pentru a calcula integrala definită este necesară pentru a găsi orice integrandul primitiv, adică trebuie să găsească mai întâi integralei nedefinită. Constantă C a calculelor ulterioare excluse. Apoi, cu formula Teorema fundamentală se aplică: o funcție primitivă se înlocuiește cu limita superioară b. în continuare - valoare limită inferioară și o diferență calculată F (b) - F (a). Numărul rezultat este definit integrală.

Când a = b, prin definiție, luate

Pentru a practica în găsirea integralele definite au nevoie de un tabel integralelor nedefinite de bază și beneficii „Acțiuni cu puteri și rădăcini.“

Exemplul 1. Se calculează definit integralei

Decizie. În primul rând, găsiți o integrală nedefinită:

Aplicarea Teorema fundamentală a primitivă

(Când C = 0), obținem

Cu toate acestea, atunci când se calculează integrala definită este mai bine să nu fie într-o înregistrare primitivă și integral separat, imediat sub forma (39).

Verificați soluția poate fi în linia de calculator integralelor nedefinite la rezultat de calcul înlocuitorului primitiv o primă valoare limită superioară și valoarea limită inferioară și pentru a găsi diferența. Numărul rezultat este definit integrală.

Exemplul 2. Se calculează definit integralei

Decizie. utilizând formula

Teorema 1.Opredelonny integrală cu aceleași limite de integrare este zero. și anume

Această proprietate este conținută în definiția integralei definită. Cu toate acestea, ea poate fi obținută prin formula Newton-Leibniz:

Teorema 2.Velichina integrala definită nu depinde desemnarea variabilei de integrare. și anume

Fie F (x) - o primitivă f (x). Pentru f (t) este primitiv al aceleiași funcții F (t), în care singura variabilă independentă este indicat altfel. Prin urmare,

Pe baza formulei (39), ultima egalitate este integralele egal

Teorema factorul 3.Postoyanny poate fi luată ca un semn al integralei bine definit. și anume

Teorema 4.Opredelonny integrantă suma algebrică a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor unora dintre aceste funcții. și anume

Teorema 5. Dacă un segment de integrare este împărțit în părți, atunci definit integralei peste intervalul egal cu suma integralele definite ale părților sale. și anume dacă

Teorema 6. Atunci când integrarea permutare limitează valoarea absolută a integrala definită nu este schimbat, și doar își schimbă semnul său. și anume

Teorema 7 (valoarea medie teorema). integrală Definite este egală cu produsul dintre lungimea intervalului de integrare pe valoarea integrandul la un moment dat în cadrul acestuia. și anume

Teorema 8. Dacă limita superioară a integrării și mai mare decât integrantul inferior este nenegativ (pozitiv), atunci u este nenegativ definit integral (pozitiv), adică dacă

Teorema 9. În cazul în care limita superioară a integrării și mai mare decât funcția de jos și continuă, atunci inegalitatea

Acesta poate fi integrat pe termen de termen. și anume

Proprietățile integralei clare ne permit de a simplifica calculul direct al integralelor.

Exemplul 3. Se calculează definit integralei

Utilizarea Teoremele 3 și 4, iar când primitivii - integralele tabulare (7) și (6), obținem

Fie f (x) - continuă pe intervalul [a. b] funcția și F (x) - primitiv sa. Luați în considerare definit integralei

și T reprezintă variabila de integrare, astfel încât să nu-l confunda cu limita superioară. Dacă x variază și modificări opredolenny integral (47), adică este o funcție a limita superioară de integrare x. care este notat cu F (x), adică

Vom dovedi că funcția F (x) este o primitivă pentru f (x) = f (t). Intr-adevar, diferentierea F (x), obținem

Funcția F (x) - unul dintr-un număr infinit de primitivelor pentru f (x), și anume cea care este la x = a este zero. Această aprobare este obținută în cazul în (48) pentru a pune x = o și de a folosi Teorema 1 din paragraful precedent.

Derivarea formula de integrare prin ecuația părți u = d dV a fost obținută (uv) - v du. Integrarea in intervalul de la A la B și luând Teorema 4 paragraful al acestui articol despre proprietățile definită integral, obținem

Astfel cum rezultă din Teorema 2 secțiunea privind proprietățile indefinit integrală, primul termen din partea dreaptă este egală cu valorile de diferență ale uv produsului la limitele superioare și inferioare de integrare. Scrierea acestei diferențe ca pe scurt

Obținem prin formula de integrare părți pentru a calcula o integrală definită:

Exemplul 4. Se calculează definit integralei

Decizie. Integrarea prin părți, considerând u = ln x. V = dx; apoi du = (1 / x) dx. v = x. Prin formula (49) găsim

Să trecem la calcularea integrala definită printr-o schimbare de variabilă. lăsa

în cazul în care, prin definiție, F (x) - primitivă f (x). În cazul în care o variabilă de substituție în integrandul

în conformitate cu formula (16) poate fi scrisă

În această expresie,

Funcția primitivă

De fapt, derivatul său, conform regulii pentru diferențierea unei funcții compozit este

Să presupunem că α și β - valoarea variabilei t. pentru care funcția

Este nevoie de valorile a și b. și anume

Dar, conform formulei Teorema fundamentală, diferența F (b) - F (a) este

Aceasta este formula pentru trecerea la o nouă variabilă sub semnul integralei definit. Cu ea, definită integrantă

după o schimbare a variabilei

transformat într-o integrală certă în ceea ce privește noul t variabil. În acest caz, vechile limitele de integrare a și b sunt înlocuite cu altele noi și în afara. , Aveți nevoie pentru a găsi o ecuație la noi limite

alimentare cu valori x = a și x = b. și anume rezolva ecuații

și relativă. După ce a constatat noile limite ale calculului de integrare integralei definit se reduce la utilizarea Teorema fundamentală a formulei integralei noii t variabila. Funcția primitivă, care se obține ca urmare a găsi revenirea integrală a variabilei vechi nu este necesară.

La calcularea integrala definită a metodei de înlocuire variabilă este adesea convenabil de a exprima, nu variabila vechi ca o funcție a noului, ci mai degrabă o nouă - ca funcție veche.

Exemplul 5. Se calculează definit integralei

Decizie. schimbarea Proizvedom de variabile, presupunând

Apoi, dt = 2x dx. unde x dx = (1/2) dt. iar integrantul se transformă după cum urmează:

Găsiți noi limite de integrare. Înlocuind valorile lui x = 4 și x = 5 în ecuația

Acum, folosind formula (50), obținem

După schimbarea de variabilă, nu am reveni la variabila vechi și a folosit formula Newton-Leibniz la primitiv rezultat.

Start tema "Integral"

anterior ◈ următoarea

Definite integrală și metodele de calcul

Meniu

Tag-uri articol