Descărcați selecție și de construcție a funcției interpolarea
„Alegerea unei funcții de interpolare la țintă și construcția acesteia“
Lăsați intervalul specificat N puncte. numite noduri de interpolare și valorile unei funcții la aceste puncte. Este necesar să se construiască o funcție (o funcție care interpolează), care ar coincide cu nodurile de interpolare și de a aduce mai aproape între ele, adică, astfel încât. Interpretarea geometrică a problemei de interpolare este că este necesar să se găsească o curbă de un fel care trece printr-un sistem de punct dat poate găsi o valoare aproximativă cu ajutorul acestei curbe. de sarcina de interpolare devine unic, dacă ne uităm pentru un polinom de grad în loc de o funcție arbitrară. care îndeplinește condițiile:
polinomului de interpolare întotdeauna clar că există doar un polinom de grad. Punctele de date care primește valorile setate. Există mai multe metode pentru construirea polinomului de interpolare. În continuare ne uităm la principalele moduri în detaliu.
Partea teoretică
Lagrange de interpolare polinomială Logranzha interpolare polinomială care ia în nodurile de interpolare, respectiv, valori ale formei:Cu formula se vede că gradul polinomului este egal. Logranzha și satisface interpolare polinomială toate condițiile problemei.
În cazul în care distanța dintre toate nodurile învecinate de interpolare aceeași, adică. formula (*) este considerabil simplificată. Vom introduce o nouă variabilă. Acum, apoi Lagrange de interpolare polinomiale este de forma:
Coeficienți. cu care se confruntă valorile în formula (**) nu depinde funcția și pe teren. și depinde numai de ce tabelele compilate pentru valori diferite. vospolzovatsya posibil pentru a rezolva diverse probleme de interpolare de puncte echidistante.
Problema care se pune este cât de aproape Logranzha polinomul se apropie de funcția de la alte puncte (nu noduri), adică cât de mult echilibru mare. Restricții suplimentare impuse de funcția. Și anume, să presupunem că, în luarea în considerare a modificărilor din zonă. care conțin puncte de interpolare, funcția are toate instrumentele financiare derivate sus -lea ordine inclusiv. Apoi, estimarea erorii absolute Logranzha formula de interpolare este:
interpolare mnogochlenNyutona
Diferențele divizate sunt numite relații de forma:- primul ordin:
- a doua:
- n - lea ordine:
Cu rіznostey separat poate construi un polinom:
Se numește polinomul de interpolare Newton pentru o funcție dată. Acest formular de intrare este mai convenabil de a utiliza, deoarece atunci când este adăugat X0 noduri, x1, ..., xn xn + 1 a noilor membri ai tuturor numerelor calculate anterior rămân neschimbate, dar se adaugă formula de la un singur slogan. Atunci când se utilizează formula Logranzha trebuie calculată din nou.
Dacă valorile funcției sunt definite pentru valori argument la distanțe egale (. Constant i = 0,1, ..., n se numește etapa interpolare), polinomul interpolarea ia forma:
Aici, - o diferență finită de ordine. Acestea sunt definite prin formula în care factorii -binomialnye.
Comparând această expresie cu cea anterioară, este ușor de instalat, și că, la diferențele finale divizate legate raport specii:
Pentru utilizarea practică (5,17) înregistrate în formă convertită. Pentru a face acest lucru, vom introduce o nouă variabilă. stabilind în cazul în care - numărul de pași. necesară pentru a ajunge la punctul de punct. Astfel, vom obține primul cu formula de interpolare a lui Newton pentru interpolarea înainte, adică, la începutul tabelului de valori:
Să presupunem că punctul de interpolare este poziționat în apropierea punctului final al tabelului. În acest caz, punctele de interpolare ar trebui să fie luate, astfel încât formula lui Newton pentru interpolare este acum după cum urmează:
Diferențele divizate pot fi exprimate în termeni de diferențe finite, dacă vom folosi posibilitatea de a le rearanja în argumentele, iar relația (5.18), ceea ce implică:
Introducem variabila. Având în vedere că pentru a obține o a doua formulă de interpolare Newton pentru interpolarea sfârșitul tabelului:
Atât prima și a doua formulă de interpolare Newton poate fi utilizată pentru a ekstrapolyatsii funcție, adică pentru a calcula valorile funcției. valori care sunt argumente în afara mesei. Dacă valoarea este aproape, este avantajos să se utilizeze polinom de interpolare prima lui Newton, apoi Astfel, prima formulă de interpolare Newton este utilizat pentru interpolare ekstrapolyatsii înainte și înapoi, iar al doilea - dimpotrivă, să ekstrapolyatsii interpola înainte și înapoi.
Rețineți că operațiunea ekstrapolirovaniya, în general, mai puțin precise decât funcționare interpolare.
Newton de interpolare formula avantajoasă deoarece adăugarea de noi noduri la interpolare de calcul suplimentară necesară numai pentru noi membri, fără a schimba vechi.
Conducerea Eytkina
Fie f dată punctele formă set tabulare xi se ia valori yi = f (xi) (i = 0,1, ..., n). Este necesar să se calculeze valoarea funcției f, la un punct x nu coincide cu punctele xi. În acest caz, nu este nevoie de a construi o expresie comună a polinoame Lagrange în mod explicit, și numai vichislit impune valoarea sa la punctul x. Aceste calcule sunt convenabile pentru a efectua pe schema de interpolare Eytkina. O trăsătură caracteristică a acestui sistem este vichisleny uniformitate.În cazul în care funcția f este definită la două puncte de valori x0 și x1 y0 și y1. pentru a calcula valoarea sa la punctul x se poate folosi formula:
(*) Din interpolare liniară.
Notând valoarea funcției la punctul x prin. Formula (*) poate fi scrisă sub forma:
În cazul în care partea dreaptă este determinant al doilea ordin. Această formulă este echivalentă cu formula (*). În plus.
Fie funcția f este definită la trei puncte x0. x1 și x2 valorile y0. y1 și y2, și este necesar să se calculeze valoarea sa la punctul x. În acest caz, în conformitate cu schema Eytkina la punctul x este calculat primele valori ale celor două polinoame liniare
și apoi valoarea polinomului pătratic de forma:
Toate cărțile și fișierele sunt oferite numai cu scop informativ.