Funcția Continuitate - studopediya
Continuitatea punctului.
Funcția. definită într-un cartier al unui punct. Acesta a spus să fie continuă în punctul. dacă limita funcției și valoarea la acest punct sunt egale, adică,
Același lucru poate fi scris în mod diferit:
Dacă funcția este definită într-o vecinătate a punctului. dar nu este continuă în punctul. aceasta se numește o funcție discontinuă, iar punctul - un punct de discontinuitate.
funcție continuă EXEMPLU:
Un exemplu al unei funcții discontinue:
Funcția se numește continuă în punctul. în cazul în care există acolo pentru orice număr pozitiv. că, pentru orice. care îndeplinește condiția: inegalitatea.
Funcția se numește continuă în punctul. în cazul în care creșterea este o funcție la infinitezimal.
în care - la infinitezimal.
Proprietățile funcțiilor continue.
1) Suma, diferența și produsul funcțiilor continue la punctul - o funcție care este continuă în punctul;
2) raportul dintre cele două funcții continue - o funcție continuă cu condiția că nu este egal cu zero în punctul;
3) superpoziție funcțiilor continue - este o funcție continuă.
Această proprietate poate fi scris după cum urmează:
Dacă - funcția continuă la punctul. funcția - este, de asemenea, o funcție continuă în acest moment.
Validitatea proprietățile de mai sus se pot dovedi cu ușurință
Folosind teorema privind limitele.
Continuitatea unor funcții elementare.
1. Funcția. - funcție continuă pe întregul domeniu.
2. O funcție rațională este continuă pentru toate valorile. cu excepția celor în care numitorul devine zero. Astfel, funcția de acest tip este continuă pe domeniul său.
3. Funcțiile trigonometrice sunt continue pe domeniul său.
Să ne dovedi proprietate de 3 pentru funcția.
Scriem incrementul funcției. sau după transformare:
Într-adevăr, există o limită, iar produsul a două funcții. În acest caz, funcția cosinus - funcție mărginită cu. precum și limitează funcția sinus. este infima atunci când.
Astfel, există o funcție limitată de muncă printr-o infima de aceea această lucrare, adică, Funcția - infinitezimal. Conform definițiilor discutate mai sus, funcția de - o funcție continuă pentru orice valoare a domeniului, deoarece incrementului sa în acel moment - infinitezimal.
pauză puncte și clasificarea acestora.
Luați în considerare o funcție. continuă în vecinătatea punctului. cu excepția, poate, acest lucru foarte punct. Din punctul de discontinuitate funcție de determinare, care este un punct de discontinuitate în cazul în care funcția nu este definită în acest moment dacă este sau nu este continuă.
De asemenea, trebuie remarcat faptul că continuitatea funcției poate fi o singură față. Să ne explicăm acest lucru, după cum urmează.
În cazul în care limita de o singură față (cm. Mai sus). atunci funcția se numește continuă pe dreapta.
Un punct se numește o funcție de punct de întrerupere. în cazul în care nu este definit la punctul sau nu este continuă în acest moment.
Un punct este numit un punct de discontinuitate de 1- natură. în cazul în care în acest moment are o finită, dar nu este egal cu fiecare alte limite stânga și la dreapta:
Pentru condițiile acestei definiții nu este necesară pentru funcția a fost determinată într-un punct. este suficient ca acesta este definit pe partea stângă și dreaptă a acestuia.
Punctul este numit un punct de discontinuitate al doilea tip. Dacă nu în acest moment funcția are cel puțin una dintre limitele unilaterale, sau cel puțin una dintre ele este fără sfârșit.
Exemplul 1. Funcția Dirichlet (Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) - matematician german, membru corespondent al Academiei de Științe Petersburg 1837)
Nu este continuă în orice punct x0.
Exemplul 2. Functia are un punct de pauză, la al 2-lea fel, după cum .
Funcția nu este definită la punctul. dar are o limită finită. și anume la funcția are un punct de discontinuitate de primul tip. Acesta - decalaj punctul de unică folosință, deoarece dacă vom extinde funcția:
Graficul acestei funcții:
Această caracteristică este, de asemenea, menționată - semn. La punctul funcție nu este definită. pentru că în stânga și în dreapta limite sunt diferite, atunci punctul de pauză - primul fel. Dacă extinde definiția funcției în punctul. punerea. funcția este continuă pe dreapta, dacă ai pus. funcția este continuă pe stânga, dacă ai pus un kakomu- egal cu orice număr diferit de 1 sau -1, funcția nu va fi continuu, nici la stânga, nici dreapta, dar în toate cazurile, cu toate acestea, va fi la primul fel de decalaj. În acest exemplu, punctul de discontinuitate al primul tip nu este detașabil.
Astfel, pentru a face un punct de discontinuitate de primul fel a fost evitată, este necesar ca una unilaterală limitează dreapta și stânga au fost finit și egale, iar funcția ar fi în acest moment nu este definit.
2.2. Continuitatea intervalului și intervalul.
Funcția se numește continuă pe intervalul (interval). dacă este continuă în orice punct al intervalului (intervalul).
Ea nu are nevoie de continuitate a capetelor segmentului sau nevoia interval de doar un singur mod continuu pe intervalul sau capetele intervalului.
Proprietățile funcțiilor continue pe un interval.
Proprietatea 1. (Prima Weierstrass Teorema (Veyershtrass Karl (1815-1897) - matematician german)). Funcția este continuă pe intervalul este delimitată pe acest segment, adică starea segmentului:
Dovada acestei proprietăți se bazează pe faptul că o funcție continuă în punctul. delimitată într-un cartier, iar în cazul în care un segment divizat într-un număr infinit de segmente de linie care sunt „shrink“ la punctul. Acesta va genera un punct de cartier.
Proprietatea 2. O funcție continuă pe intervalul. Este nevoie de valori maxime și minime.
Ie și există valori. asta. . în cazul în care:
Notă. Aceste valori maxime și minime ale unei funcții poate lua pe segmentul de mai multe ori (de exemplu, -).
Diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare funcției pe intervalul de oscilație numit funcții pe un interval.
Proprietatea 3. (Teorema lui Cauchy a doua Bolzano). O funcție continuă pe intervalul. Este nevoie de pe acest segment toate valorile între două valori arbitrare.
Proprietatea 4. În cazul în care funcția este continua. atunci există o vecinătate a lui. în care funcția își păstrează semnul său.
Proprietatea 5. (Prima teorema Bolzano (1781-1848) - Cauchy). Dacă funcția - continuă pe intervalul și la capetele valorilor segmentelor cu semne opuse, atunci există un punct în interiorul acestui segment, unde.
Funcția este uniform continua pe intervalul. dacă pentru orice există astfel încât pentru orice puncte și astfel încât inegalitatea
Spre deosebire de continuitate uniformă la „normal“ este că pentru toate acolo proprii. Ea nu depinde. și în „normale“ depinde de continuitatea și.
Proprietatea este de 6. Teorema Cantor (Cantor, Georg (1845-1918) - matematician german). Functia este continua pe un interval închis este uniform continuă pe ea (această proprietate este valabilă numai pentru segmentele, mai degrabă decât intervalele și jumătăți de intervale).
Functia este continua pe intervalul. dar nu este uniform continuă, deoarece există astfel că există valori și astfel încât ï- orice număr, cu condiția ca sunt aproape de zero.
Proprietatea 7. Dacă funcția este definită, monotonă și continuă pe un interval, atunci inversa ei este, de asemenea, lipsită de ambiguitate, monoton și continuu.
Exemplul 6. Exploreaza funcția de continuitate și de a determina tipul de puncte de pauză, dacă este cazul.
punctul este continuă la un punct de discontinuitate de primul tip
Exemplul 7. Exploreaza funcția de continuitate și de a determina tipul de puncte de pauză, dacă este cazul.
punctul este continuă la un punct de discontinuitate de primul tip