funcții continue
Luați în considerare două funcții ale căror grafice sunt prezentate în Fig. 1 și 2. Graficul primei funcție poate fi trasă fără a ridica creionul de pe hârtie. Această funcție poate fi numit continuă. Programați o altă funcție, deci este imposibil să se tragă. Se compune din două piese continue, și are un decalaj în punctul, iar noi numim funcția de rupere.
O astfel de definiție clară a continuității nu poate aranja matematica, deoarece conține un concept complet non-matematică a „creion“ și „hârtie“. Definiția exactă matematică a continuității este dată bazată pe conceptul de limită și este după cum urmează.
Fie funcția definită pe intervalul și - un punct al acestui segment. Funcția se numește continuă în punctul, în cazul în care urmărirea (observate numai în intervalul) valori tind să funcționeze, adică, dacă
Funcția se numește continuă pe intervalul în cazul în care este continuă în fiecare punct.
Dacă punctul de ecuația (1) nu este îndeplinită, funcția este numită discontinua la punctul.
După cum vom vedea, continuitatea unei funcții matematice pe intervalul este determinat de continuitatea locală (local) al punctului.
Valoarea este numită incrementarea argument, funcția de diferență este valorile funcției de creștere și este notată. Este evident că, argumentul cu creșterea tinde la zero :.
Să ne rescriem ecuația (1) sub formă echivalentă
Folosind această notație, acesta poate fi rescrisă ca:
Deci, în cazul în care funcția este continuă, atunci argumentul tinde la zero creștere creștere a funcției tinde la zero. Vorbiți într-un mod diferit: o creștere mică a argumentului corespunde unei creșteri mici în funcție. Fig. 3 este un grafic al unei funcții continue la punctul, increment corespunde unei funcții increment. Fig. 4 creștere corespunde unei variații a funcției, care, oricât de mică ar fi fost, nu va fi mai mică decât jumătate din lungimea segmentului; Funcția este discontinuă în punctul.
Ideea noastra a unei funcții continue ca o funcție care poate desena un grafic fără a ridica creionul de pe hârtie, bine susținută de proprietățile funcțiilor continue, care pot fi dovedite în analiza matematică. Notă, de exemplu, astfel de proprietăți.
1. În cazul în care un segment continuu la funcția preia capetele valorilor segmentelor de semne diferite, apoi la un moment dat, în acest interval se ia valoarea zero.
2. Funcția este continuă pe intervalul, primește toate valorile intermediare între valorile de la punctele de capăt, adică, între și.
3. În cazul în care funcția este continuă pe un interval, apoi, în acest interval ea atinge maximul și valoarea sa minimă, adică, în cazul în care - cel mai mic și - cea mai mare valoare a funcției pe intervalul, atunci există puncte de pe acest segment și că.
Sensul geometric al primului dintre aceste afirmații este destul de clar: dacă o curbă continuă trece dintr-o parte în cealaltă axă, se intersectează această axă (figura 5.). Funcția discontinuă are această proprietate, după cum reiese din graficul din fig. 2 precum și proprietățile 2 și 3. în Fig. 2, funcția nu acceptă valoarea, chiar dacă se află între și. Fig. 6 prezintă un exemplu al unei funcții discontinue (partea fracționară), care atinge valoarea sa maximă.
Un exemplu al unei funcții continue poate fi oricare dintre funcțiile elementare. Fiecare funcție elementară este continuă la orice interval în care este definit. De exemplu, funcțiile sunt continue și la orice interval, intervalul este continuu funcția, continuă la orice interval care nu conține punctul.
Adunare, scădere, înmulțire continuă pe aceleași funcții segment din nou conduc la funcții continue. Atunci când împărțirea două funcții continue va fi o funcție continuă, în cazul în care numitorul este diferit de zero, peste tot.
Conceptul de matematică funcție continuă veni, în primul rând studierea diferitelor legi ale mișcării. Spațiul și timpul sunt continue, și dependența, de exemplu, calea din timp în timp, exprimat prin lege, este un exemplu al unei funcții continue.
Cu funcții continue descriu stări și procese în solide, lichide și gaze. Studenții științei - teoria elasticității, hidrodinamice si aerodinamica - sunt unite de un singur nume - „Continuum Mechanics“.