Interpolarea funcțiilor - Matematica

4. Newton împărțit cu diferențe

5. interpolare Spline

Obiectiv: Studiul și analiza comparativă a metodelor de funcții de interpolare; punerea în aplicare a acestor metode sub formă de programe de calculator în limbaj de nivel înalt și o soluție practică la problemele de interpolare pe un calculator.

În dezvoltarea unui software CAD de multe ori trebuie să se confrunte cu funcții f (x), având în vedere sub formă de tabele, cunoscut ca un set finit de valori ale argumentului și valorile corespunzătoare ale funcției. Expresia analitică pentru funcția f (x) nu se știe că nu permite să se determine valorile la punctele intermediare ale argumentului sunt absente în tabel. În acest caz, problema este rezolvată interpolare, care este formulată după cum urmează.

Pe intervalul [a, b] n + 1 dat puncte x0. x1. xn. numitele noduri de interpolare și valorile unei funcții f (x) la aceste puncte f (x0) = y0. f (x1) = y1. f (xn) = yn. Necesar pentru a construi funcția de interpolare F (x), nodurile de interpolare care primesc aceleași semnificații ca f (x), adică astfel încât F (x0) = y0. F (x1) = y1. F (xn) = yn.

Geometric, acest lucru înseamnă că este necesar să se găsească o curbă y = F (x) unui anumit tip, care trece printr-o anumită Mi (xi. Yi) sistem de puncte pentru i =. Astfel obținut formula interpolare y = F (x) este de obicei folosit pentru calcularea valorilor inițiale ale funcției f (x), pentru valori ale argumentului x, altele decât nodurile de interpolare. Această operație se numește funcția de interpolare f (x). O distincție este interpolat în sensul îngust când x aparține intervalului [x0. xn], și extrapolare, dacă x nu face parte din acest interval.

Într-o astfel de situație generală a problemei de interpolare poate avea un număr infinit de soluții. Pentru a obține o singură funcție F (x), trebuie să presupunem că această funcție nu este arbitrară, și îndeplinește anumite condiții suplimentare.

In cel mai simplu caz, se presupune că relația y = f (x) în fiecare interval (xi. Xi + 1) este liniară. Apoi, pentru fiecare segment (xi. Xi + 1) ca formula de interpolare y = F (x), folosind ecuația liniei care trece prin punctul Mi (xi. Yi) și Mi + 1 (xi + 1. Yi + 1), care are vedere

La programarea procedurilor de interpolare liniară trebuie amintit că procesul de rezolvare a problemei de interpolare folosind formula (1) includ două etape: intervalul de selecție (xi xi + 1.), care deține valoarea argumentului x; calcul de fapt valoarea y = F (x) cu formula (1).

În practică, întrucât funcția de interpolare F (x) este utilizat de obicei un polinom algebric

grad care nu depășește n, astfel încât Pn (x0) = y0. Pn (x1) = y1. Pn (xn) = yn. Cele mai cunoscute metode de construire a unui interpolarea polinom Pn (x) sunt metode metoda Lagrange, iterativă și diferență.

1. formula Lagrange

Lagrange formula interpolare permite construirea unui polinom algebric Pn (x) pentru un set arbitrar de noduri de interpolare. Pentru n + 1 valori diferite ale x0 argument. x1. xn și valorile corespunzătoare ale f (x0) = y0. f (x1) = y1. f (xn) = yn Lagrange formula de interpolare este de forma

,

unde x - valoarea argumentului funcției, situat în intervalul [x0. xn].

Trebuie remarcat faptul că formula lui Lagrange, spre deosebire de alte formule de interpolare, conține în mod clar yi (i =), este uneori important.

Exemplul 1. construi Lagrange de interpolare polinomială la funcția dată tabelul următor.

Pentru cazul a patru puncte de interpolare (n = 3) Lagrange polinom este reprezentat după cum urmează:

Înlocuirea variabilelor xi. yi (i =) valorile numerice, obținem un polinom de interpolare

Lagrange formula de interpolare este asociată cu un volum mare de calcule, o parte semnificativă din care se repetă în prepararea mai multor Pn (x) valori pentru o singură funcție f (x). În cazul în care formula Lagrange este utilizat pentru a obține mai multe valori ale unei funcții pentru diferite valori ale argumentului, este posibil să se reducă în mod semnificativ cantitatea de calcul. Pentru această formulă Lagrange reprezentat ca

în cazul în care - coeficienții Lagrange, definit ca

Calculul coeficienților Lagrange se realizează în felul următor, convenabil atunci când se utilizează un computer. Un tabel de diferențe:

Elemente de lucrare i-lea rând este notat cu Ki. Prin urmare, coeficienții de Lagrange sunt calculate conform formulei

unde Pn + 1 (x) = (x - x0) (x - x1) ... (x - xn) - produs din elementele diagonalei principale ale mesei (aceste elemente sunt subliniate). Apoi, formula lui Lagrange ia forma:

Folosind Formula (2) permite reducerea părții substanțiale a calculelor pentru determinarea coeficientului de Lagrange Li (n) (x) pentru diferite valori ale argumentului. În acest scop, produsul elementelor rând i-lea este reprezentat ca un tabel diferență Ki = (x - xi) Di. în cazul în care Di - este produsul tuturor elementelor rând, cu excepția situate pe diagonala principală. Valoarea Di (i =) nu depinde de valoarea argumentului x, și poate fi calculată o singură dată pentru o anumită funcție.

Citește mai mult: schema interpolarea Aitken

Informații despre lucrarea „interpolarea funcțiilor“

Categorie: Matematică
Numărul de caractere, inclusiv spații: 15031
Număr de mese: 3
Numărul de imagini 3