Linear Algebra 1
în care A, B și C - matricea și # 945; și # 946; - număr.
Subiect: matrice elementară
matrice elementară sunt:
1. permutare plasează două rânduri paralele ale matricei
2. Multiplicarea tuturor elementelor unui anumit număr de matrici de numărul de nenul
3. Adăugarea tuturor elementelor unui număr de elemente ale matricei conform șiruri paralele înmulțit cu același număr
Două matrici A și B sunt numite echivalente. în cazul în care una dintre ele se obține din celălalt prin intermediul unor transformări elementare A
B. Folosind transformările elementare orice matrice poate fi redusă la o matrice din care, la începutul rândului principal este diagonală câteva unități, iar toate celelalte elemente sunt zero, o astfel de matrice este numită canonic.
O matrice pătrată de ordinul n poate compara det numarul A sau | A |, # 916; din cuvântul latin determină - determinarea, numit determinant. Determinantul se calculează după cum urmează:
1. cu n = 1, determinantul matricei A = (AN)
2. Atunci când n = 2, matricea
3. când n = 3, matricea
Regula triunghi - Sarryusa care afișează pe scurt
Subiect: Proprietățile determinanților
1. Echivalența rânduri și coloane
Determinant nu se schimbă dacă înlocuim coloanele sale de linie și vice-versa. În viitor, rândurile și coloanele determinantului este denumită simplu rânduri de determinant.
2. Atunci când se deplasează cele două rânduri paralele ale semnului modificări determinante
3. determinant având doi număr identic este zero
4. Elementele comune factor, orice număr de factor determinant poate fi afișat în afara determinantul
Din proprietăți 3 și 4 că, dacă toate elementele unui număr proporțional la numărul corespunzător de elemente paralele, astfel determinant este zero.
5. În cazul în care elementele unui număr de factor determinant este o sumă de doi termeni, determinantul poate fi descompus într-o sumă de doi factori determinanți relevanți
6. Transformarea elementară a determinantului determinantului nu se schimbă dacă elementele un rând pentru a adăuga un număr corespunzător de elemente paralele sunt multiplicate cu orice număr
Minor. un element determinant aij n-lea ordin, numit ordinul n-1 a determinantului obținut din original prin ștergerea rândului și coloanei, la o intersecție, care este elementul selectat. Notat˘a prin mij.
Cofactor a determinantului elementului aij este numit său minor, luat cu semnul plus, în cazul în care suma i j + - și un număr chiar și cu semnul minus, dacă această sumă este impar.
7. Extinderea determinantului unei serii de elemente
Determinant este egală cu suma produselor dintr-o serie de elemente pentru cofactori lor (caracteristică 7 include o metodă de calcul a determinantului înaltă ordine).
8. Suma produselor din elementele oricărui număr de determinant pe cofactori, numărul corespunzător de elemente paralele este zero
Subiect: matrice non-singular
Fie A o matrice pătrată de ordinul n-lea
O matrice pătrată A, numit non-degenerate. dacă determinantul său este nenul (# 916; = det A ≠ 0), dacă determinantul este zero (# 916 = 0), atunci matricea este singular.
matricea Uniunii pentru a matricei A este numită o matrice,
unde Aij - cofactor acestei matrice elementul Aij. De asemenea, este definit ca cofactor al unui element determinant.
Matricea A -1. numita inversa matricei A, dacă starea A * A -1 = E este nimic A = A -1 * E, unde E - matricea identității de același ordin ca și matricea A, A -1 - matricea inversă are aceeași dimensiune ca matricea A.
Orice matrice non-singular are un invers
Proprietățile matricei inverse:
3) (A-1) T = (A T) -1
Să considerăm matricea A de dimensiune m * n
Alocați-l la rândul și coloana. Astfel, pentru a ≤ min (m, n) a elementelor care stau la intersecția, rândurile și coloanele selectate pentru a forma determinantul ordine. Toți acești identificatori sunt numite minori ai acestei matrice, observăm că astfel de minori pot face acest număr:
, . În cazul în care numărul de combinații de n elemente luate la cea mai mare dintre ordinele minorilor ale acestei matrice sunt diferite de zero, se numește rangul matricei și este notat cu:
Evident, 0 ≤ r ≤ min (m, n). Minor la comandă determină rangul unei matrice, numită bază. În matrice poate fi câțiva minori de bază.
Găsiți rangul matricei A.
Toți minorii de ordinul trei sunt egale cu zero, există un minor de ordinul 2 de zero.
Minor de bază la intersecția de 2 și 3 linii 1 și 3 coloane.
1. în transpunerea matricei nu se schimba rangul său
2. În cazul în care numărul de ștergere din matricea de zero, rangul matricei nu se schimba
3. Rangul matricii nu este schimbat de matricea elementară
matrice canonică Rank este egal cu numărul de unități în diagonala principală. Aceasta se bazează pe un mod de calculare rangul unei matrice.
Subiect: sistem de ecuații liniare
Un sistem de ecuații algebrice liniare. conține m ecuații și n necunoscute numit un sistem de forma:
, Ei au numit coeficienții sistemului. și bi - termeni liberi. sub rezerva determinării xn. Un astfel de sistem poate fi în mod convenabil scris sub forma de matrice compactă: (*) A * x = B, unde A - matricea coeficienților.
, Se numește matrice de bază.
x - este vectorul coloană al necunoscutelor x j
vector coloană bi liber - B
Matricea AH produsului este determinat ca O coloană din matrice la fel de mult ca și rânduri în matricea X, adică n bucăți.
matrice sistem extins. Este matricea # 256; coloană completată de termeni liberi
Soluție de sistem. n necunoscutele numitele valori x1 = C1. x2 = C2. ... xn = Cn. La substituirea, în cazul în care toate ecuațiile se aplică dreptul la egalitate. Fiecare soluție de sistem poate fi scrisă ca o coloană a matricei:
Sistemul, numit comun. dacă are cel puțin o soluție, și inconsistente. în cazul în care nu are mai mult de o soluție. Sistemul comun se numește sigur. dacă are o soluție unică și nesigură. în cazul în care are mai mult de o soluție. În acest din urmă caz, fiecare din soluția se numește o soluție particulară a sistemului. Totalitatea tuturor soluțiilor parțiale se numește soluția generală. Rezolva sistemul înseamnă pentru a afla, este consecventă sau inconsistente. În cazul în care sistemul este consecvent - de a găsi o soluție generală. Două sisteme. a declarat a fi echivalent sau echivalent. în cazul în care au aceeași soluție generală. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente, în cazul în care fiecare decizie una dintre ele este o soluție la alta și vice-versa.
Sistemele echivalente sunt obținute, în special, atunci când sistemul transformările elementare. Cu condiția ca conversiile sunt efectuate pe rândurile numai matricei.
Sistemul de ecuații liniare se numește omogen. Am mâncat toți termenii constante sunt zero. Sistemul Omogene este întotdeauna consecvent, ca x1 = x2 = x3 ... xn = 0 este o soluție. Această soluție, numită zero sau banal.
Subiect: Sisteme de ecuații liniare de rezolvare. Teorema KRONIKERA Cappella
Să se dea un sistem arbitrar de m ecuații liniare în n necunoscute (vezi. *).
Un răspuns exhaustiv la problema compatibilității acestui sistem este dată de Teorema Kronikera-Capelli. Această teoremă va consta din 3 teoreme:
1. Sistemul de ecuații liniare este consistentă dacă și numai dacă rangul sistemului cu matrice augmented este egal cu gradul de matricea miezului. Regulile de practica găsirii tuturor soluțiilor unui sistem de ecuații liniare derivate din următoarele teoreme
2. în cazul în care gradul de matrice comună a sistemului este forță necunoscută. Sistemul are o soluție unică
3. În cazul în care sistemul comun de rang este mai mic decât numărul de necunoscute, sistemul are un număr infinit de soluții
Termenii de soluții ale unui sistem arbitrar de ecuații liniare:
1. Găsiți gradul de maior, și matricea augmentată, în cazul în care gradul de matricea principală a sistemului nu este egal cu gradul sistemului extins, atunci sistemul este incompatibil
2. în cazul în care gradul de sistem este egal cu gradul sistemului extins și este egal cu rangul (un numar). Că sistemul este consecvent. Găsiți orice ordine minoră bază pentru a lua la ecuațiile coeficienților, care este minor de bază. Coeficienții necunoscuți, care este inclus în minor de bază, se numește principalul și se lasă în stânga, iar restul ecuației, restul n - rangul necunoscut, numit liber, și transferat în partea dreaptă a ecuației
3. găsit în principalele termenii necunoscutelor prin liberă. O soluție generală a sistemului
4. dau valori arbitrare anonime libere, obținem necunoscutele principale corespunzătoare. Astfel, putem găsi o soluție particulară a sistemului original de ecuații
sistem liniar ACȚIUNEA non-singular cu formula Kramer: Subiect
Având în vedere un sistem de n ecuații liniare n necunoscute (vezi. *).
Bază matricea A, a sistemului - un pătrat. Determinantul acestei matrice
Acesta se numește determinant al sistemului. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul este non-degenerate. Să ne găsim soluția sistemului, atunci când determinantul nu este zero. Înmulțind ambele părți ale ecuației scrise în formă de matrice ca Ax = B * A -1 A -1 obține Ax = A -1 V. Deoarece expresia este E (x) = x, obținem x = A -1 V. Găsirea soluțiilor această formulă (1), se numește soluțiile-sistem cu matrice.
Ecuația 1 Matricea este scris după cum urmează:
Descompunerea determinantul elementelor prima coloană, adică, b1 înmulțit cu adaos. determinant # 916; 1. Acesta a obținut prin înlocuirea primei coloane cu coeficientul membrilor coloanei libere.
- deoarece obținută prin înlocuirea coloanei n-lea. Coloana membrului liber cu formula
care se numește formulele Cramer.
Și astfel, un sistem liniar nedegenerata de n ecuații cu n necunoscute are o soluție unică, care poate fi găsit de matrice-1 Cramer formula 2.
Subiect: Rezolvarea de ecuații liniare Gauss
Una dintre metoda cea mai versatil și eficient pentru sisteme de ecuații algebrice rezolvare este metoda Gauss constă în eliminarea secvențială a necunoscutelor. Având în vedere un sistem:
procesul de luare a metodei Gauss constă în două etape. În prima etapă, care va fi numit, forward accident vascular cerebral - sistemul este redus la forma Echelon, în special triunghiulară:
Factorul AII. Acesta a numit elementul principal al sistemului. În etapa a 2, care este numit - un accident vascular cerebral întoarcere. Este o definiție consistentă a acestui sistem de viteză necunoscută.
Rezolvăm sistemul de Gauss:
Subiect: sistem de ecuații liniare omogene
Având în vedere un sistem omogen de ecuații liniare:
sistem omogen de ecuații este întotdeauna consecvent și are o soluție zero.
Pentru a se asigura că sistemul de ecuații omogene are o soluție nontrivial dacă și numai dacă rangul matricei principale a fost mai mic decât numărul necunoscutelor (r Pentru a face sistemul omogen sistem de ecuații liniare n în n necunoscute au avut o soluție nontrivial dacă și numai dacă determinantul său este zero. Subiect: Elemente de algebra vector - Sfârșitul lucrării - Acest subiect apartine forumului: algebra liniară. Elemente de liniar. algebra matrice ACȚIUNEA cu matrici. modul vector. Teorema 2. Corolar 1. Corolarul 2. Teorema 3. Geometrie analitică Transformarea sistemului de coordonate. Ecuația generală a liniei Ecuația dreptei care trece printr-un anumit punct într-o anumită direcție Ecuația dreptei care trece prin cele două puncte Ecuația liniei care trece prin punctul perpendicular pe vectorul dat Ecuația normală a unei linii Ce facem cu materialul obținut:
Toate subiectele acestei secțiuni:
Lungimea vectorului, este numit modul. Modulul este o valoare scalară. modul vector este indicat prin două linii verticale - cl
Volumul proizvedenieravno mixt paralelepipedului construit pe Cast la
. dovada. produsul scalar este comutativ, sledovat
Produsul amestecat este zero dacă și numai dacă vectorii sunt coplanare. Subiect: proprietățile produsului mixt al vectorilor
Fie vectorii au coordonate în baza ortonormală
Subiect: Sistemul de coordonate pe planul sistemului de coordonate pe metoda plan înțeles permite descrie numeric poziția punctelor avionului. una dintre cele mai
Trecerea de la un sistem de coordonate la orice alt sistem de coordonate se numește transformare. Luați în considerare două cazuri de conversie a unuia dintre sistemele rectangulare
Să considerăm ecuația de gradul întâi în raport cu x și y, în general, Ax + By + C = 0, (2.4) unde A, B, C - numerele arbitrare, în care A și B nu sunt egale cu zero, unu
Să presupunem că linia trece prin punctul M (xo, yo) și direcția sa este caracterizată printr-un coeficient unghiular k Ecuația acestei linii poate fi înregistrată.
Să presupunem că linia trece prin punctul M1 (x1, y1) și M2 (x2; y2). Ecuația liniei care trece prin punctul M1,
Noi găsim ecuația dreptei care trece printr-un punct dat M (xo, yo) perpendicular pe acest vector nenul n = (A; B). Figura 20
Să linia dreaptă este definită prin specificarea p și # 945;. Să considerăm un dreptunghiular sistem de coordonate Oxy. Introducem sistem polar a durat aproximativ h