Metodele de bază de integrare, calculul integralelor on-line, integrarea de piese
Determinarea integrală integralele definite și nedefinite integral, tabel, Fundamental formula Teorema, integrarea prin părți, exemple de calcul al integralelor, calculul integralelor on-line.
Nedeterminată integrală
Funcția F (x), este diferențiabilă la un anumit interval de X, numită o funcție primitivă f (x), sau integrala f (x), în cazul în care pentru orice egalitate x ∈X:
Găsirea toate primitivele pentru această funcție se numește integrarea sa. Indefinite Funcția integral f (x) la un interval dat X este mulțimea tuturor funcțiilor pentru primitive funcția f (x); denumire -
Dacă F (x) - orice pervobraznaya pentru funcția f (x), apoi ∫ f (x) dx = F (x) + C, (8,2)
unde C este o constantă arbitrară.
integralele Tabelul
Direct de la definiția obținem proprietățile de bază ale nedefinită tabel integral și lista integralelor:
3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = const)
4) ∫ (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx
Integrale Listă tabelare
1. ∫x m dx = x m + 1 / (m + 1) + C; (M ≠ -1)
3.∫a x dx = a x / ln a + C (a> 0, a ≠ 1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arctg x + C
8. = arcsin x + C
Înlocuirea variabilei
Pentru integrarea multor funcții utilizează metoda de schimbare a variabilei, sau înlocuirea, permite unității să integralele tabelare.
Dacă funcția f (z) este continua pe [α, β], funcția z = g (x) are pe [a, b] un derivat continuu și ≤ α g (x) ≤ β, atunci
∫ f (g (x)) g „(x) dx = ∫f (z) dz, (8,3)
în care după integrarea în partea dreaptă ar trebui să facă substituția z = g (x).
Este suficient pentru a scrie integrala original în formă de:
∫ f (g (x)) g „(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x).
Metoda de integrare de către părți
Fie u = f (x) și v = g (x) - o funcție având derivați de continue. Apoi, în conformitate cu regula pentru diferențierea unui produs,
d (uv)) = UDV + VDU sau UDV = d (uv) - VDU.
Pentru a exprima d (uv) primitiv, evident, va uv, așa că avem formula:
∫ UDV = uv - VDU ∫ (8.4.)
Această formulă exprimă regula de integrare de către părți. Aceasta conduce la integrarea expresiei UDV = uv'dx pentru integrarea expresiei VDU = vu'dx.
De exemplu, să presupunem că doriți să găsiți dx ∫xcosx. Fie u = x, V = cosxdx, astfel încât du = dx, v = sinx. atunci
∫xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sin x - x ∫sin dx = x sin x + cosx + C.
Regula de integrare de către părți are un domeniu de aplicare mai limitat, decât schimbarea de variabilă. Dar există clase întregi de integralelor, de exemplu,
∫x k ln m XDX, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și alții, care este calculat prin integrarea prin părți.
certe de integrală
Conceptul de integrală definită este introdusă după cum urmează. Lăsați intervalul [a, b] definește o funcție f (x). Se împarte intervalul [a, b] pentru n bucăți literele a = x0
Funcția f (x), în acest caz, se numește integrabilă pe intervalul [a, b], a unei și b sunt numite limita inferioară și superioară a integralei.
Pentru definit integralei avem următoarele proprietăți:
4), (k = const, k∈R);
Această din urmă proprietate se numește valoarea medie teorema.
Fie f (x) este continua pe [a, b]. Apoi, există este integrala nedefinită pe acest interval
∫f (x) dx = F (x) + C
și avem formula Teorema fundamentală. cvyazyvayuschaya definită integral cu incertă:
Interpretare geometrică: integrala definită este aria trapezului curbată delimitată de sus curba y = f (x), x = o direct și x = b și segmentul Ox axei.
integralele improprii
Integrale cu limite infinite și integralelor funcțiilor discontinue (nemarginite) sunt numite necorespunzătoare. integralele improprii de tip I - este parte integrantă intervalul infinit, definit după cum urmează:
Dacă această limită există, numită convergent integrală improprie finită a f (x) în intervalul [a, + ∞), iar funcția f (x) se numește integrabile pe un interval infinit [a, + ∞). În caz contrar, despre integrantă spune că el nu există sau divergenta.
integralelor improprii în mod similar sunt determinate pe intervalele (-∞, b] și (-∞, + ∞):
Noi definim conceptul integralei unei funcții nemărginit. Dacă f (x) este continuă pentru toate valorile x interval [a, b], cu excepția punctului c, în care f (x) are un decalaj infinite: integrală improprie II fel de f (x) în intervalul de la a la b este suma:
În cazul în care există aceste limite și sunt finite. denumire:
Exemple de calcul al integralelor
Exemplul 3.30. Se calculează ∫dx / (x + 2).
Decizie. Să t = x + 2, apoi dx = dt, ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln | t | + C = ln | x + 2 | + C.
Exemplul 3.31. Găsiți ∫ tgxdx.
Decizie. ∫ tgxdx = ∫sinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. Fie T = COSX, apoi ∫ tgxdx = -∫ dt / t = - ln | t | + C = -ln | cosx | + C.
Primer3.32. Găsiți ∫dx / sinx
Primer3.34. Găsiți ∫arctgxdx.
Decizie. Noi integra de părți. Notăm u = arctgx, DV = dx. Apoi du = dx / (x 2 +1), v = x, unde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ XDX / (x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C; deoarece
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) + C.
Primer3.35. Calculați ∫lnxdx.
Decizie. Aplicarea integrării de către părți, obținem:
u = LNX dv = dx, du = 1 / x dx, v = x. Apoi ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= Xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.
Primer3.36. Se calculează ∫e x sinxdx.
Decizie. Notăm u = e x. dv = sinxdx, atunci du = e x dx, v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integral ∫e x cosxdx, de asemenea, integrarea prin părți: u = e x. dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Avem:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Ratio primit ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, unde 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C
Primer3.37. Se calculează J = ∫cos (LNX) dx / x.
Decizie. Deoarece dx / x = dlnx, apoi J = ∫cos (LNX) d (LNX). Înlocuirea LNX prin t, am ajuns la tabular integral J = ∫ costdt = + C = sint sin (LNX) + C.
Primer3.38. Se calculează J =.
Decizie. Având în vedere că = d (LNX), producând LNX substituție = t. Apoi, J =.
Primer3.39. Se calculează integral = J.
Primer3.40. Este posibil să se aplice cu formula Newton-Leibniz integralei?
Decizie. Nu, nu poți. În cazul în care se calculează în mod oficial această integrantă prin formula Newton-Leibniz, obținem un rezultat incorect. Într-adevăr, =.
Dar funcția integrantul f (x) => 0, și, prin urmare, integrala nu poate fi un număr negativ. Miezul problemei constă în faptul că integrandul f (x) = are o discontinuitate infinit x = 4 aparținând intervalului de integrare. Prin urmare, aici fundamentale formula Teorema inaplicabile.
Primer3.41. Calculați integrala.
Decizie. Integrandul este definită și continuă pentru toate valorile lui x și, prin urmare, are o primitivă F (x) =.
Prin definiție, avem: =.
Conform formulei Teorema fundamentală,
Calculul integralelor on-line
Reguli de funcții de intrare: sqrt (x) - rădăcină pătrată, cbrt (x) - rădăcina cub, exp (x) - exponent, ln (x) - logaritm natural, sin (x) - sine, cos (x) - cos, tan (x) - tan, patut (x) - cotangentă, arcsin (x) - arcsinus, arccos (x) - arccosinus, arctan (x) - arctangentă. Semne: * multiplicare / divizare ^ exponentiere în loc de infinit Infty. Exemplu: funcția este introdusă astfel încât sqrt (tan (x / 2)).
Și dacă în fereastra de rezultate, faceți clic pe Afișați pașii din colțul din dreapta sus veți obține o soluție detaliată.