Proprietățile de bază ale logaritmilor
- Materiale pentru lecție
- Descărcați toate formulele
Logaritmi, precum și orice număr poate fi adăugat, scade și altfel converti. Dar, așa cum logaritmi - nu este destul de numărul obișnuit, există câteva reguli care sunt numite proprietăți de bază.
Aceste norme ar trebui să fie cu siguranță conștienți - nu pot fi rezolvate fără nici o logaritmică serioasă provocare. În plus, acestea sunt puține - toate pot fi învățate într-o singură zi. Să începem.
Adunare și scădere a logaritmilor
Luați în considerare două logaritm cu baze identice: log a x și y log o. Apoi, ei pot adăuga și scădea și:
Astfel, suma logaritmilor este logaritmul produsului, iar diferența - logaritmul coeficientului. Notă: punctul-cheie aici - aceleași motive. În cazul în care motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!
Aceste formule vor ajuta pentru a calcula expresia logaritmică, chiar și atunci când nu sunt considerate părți ale acesteia (a se vedea. Lecția „Ce este un logaritm“). Aruncati o privire la exemple - și asigurați-vă că:
Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log6 4 + log6 9.
Ca baza logaritmilor au aceleași, folosim cantitățile formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 x 9) = log6 36 = 2.
Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log2 48 - log2 3.
Motivele sunt aceleași, utilizând ecuația diferența:
log2 48 - log2 3 = log2 (48. 3) = log2 16 = 4.
Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log3 135 - log3 5.
Din nou, aceeași bază, așa că avem:
log3 135 - log3 5 = log3 (135. 5) = log3 27 = 3.
După cum puteți vedea, expresiile inițiale sunt formate din logaritmi „rele“, care nu sunt luate în considerare separat. Dar, după reformele sunt obținute în număr destul de normal. Pe acest fapt a construit multe lucrări de testare. Așa că, controlul - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - cu puțin sau fără modificări) sunt oferite pentru examen.
Introducerea logaritmul exponent
Acum, un pic mai complica sarcina. Ce se întâmplă dacă la baza logaritmului argumentul sau gradul de valoare? Apoi, indicatorul acestui grad poate fi luat ca un semn al logaritmului următoarele reguli:
- log a x n = n · log a x;
Este ușor de observat că acesta din urmă tind să fie prima lor doi. Dar este mai bine să ne amintim - în unele cazuri, se va reduce în mod semnificativ cantitatea de calcul.
Desigur, aceste reguli face sens, în conformitate cu logaritmul TCC: a> 0, a ≠ 1, x> 0. Și un alt lucru: să învețe să folosească toate formulele, nu numai de la stânga la dreapta, dar, de asemenea, vice-versa, adică, Puteți face numărul cu care se confruntă logaritmul, conectați în sine. Acesta este adesea necesar.
Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log7 49 6.
Scapă de gradul în argumentul primei formula:
log7 6 = 49 · 6 = 49 log7 6 × 2 = 12
Sarcină. Găsiți valoarea expresiei:
[Text de desen]
Rețineți că numitorul este logaritm, baza și argumentul care sunt puteri exacte de 16 = 2 4, 49 = 7 2. Avem:
[Text de desen]
Cred că ultimul exemplu necesită unele explicații. În cazul în care a făcut logaritmii? Până în ultimul moment lucram numai cu numitorul. Cu condiția baza și argumentul logaritmului stând acolo în formă de grade și a făcut figuri - au primit „cu trei etaje“ fracțiune.
Acum, uita-te la fracțiunea principală. Numărătorul și numitorul este același număr: 7. Deoarece log2 log2 7 ≠ 0, poate reduce fracția - la numitor va fi 2/4. Conform regulilor de aritmetică, patru pot fi transferate în numărător, și că a fost făcut. Rezultatul este un răspuns: 2.
Trecerea la noua bază
Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod specific că lucrează numai pentru aceleași motive. Ce se întâmplă dacă diferite motive? Ce se întâmplă dacă acestea nu sunt puteri exacte ale unuia și același număr?
Vino la ajutorul formulei de tranziție la noua bază. Noi le formulăm sub forma unei teoremă:
Având în vedere un logaritm log a x. Apoi, pentru fiecare c astfel încât c> 0 și c ≠ 1, egalitatea:
[Text de desen]
În special, dacă am stabilit c = x. obținem:
[Text de desen]
Din a doua formulă care pot fi interschimbate și baza logaritmului argumentului, dar toate expresia „oglindită“, adică logaritm este în numitor.
Aceste formule sunt rare în expresii numerice convenționale. Pentru a evalua dacă acestea sunt adecvate, este posibilă numai atunci când rezolvarea ecuațiilor logaritmică și inegalități.
Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate la toate, cu excepția ca o tranziție la o nouă bază. Luați în considerare câteva dintre acestea:
Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log5 16 · log2 25.
Rețineți că argumentele celor două logaritmii sunt studii exacte. Indicatorii de tonificare: log5 16 = log5 02 aprilie = 4log5 2; log2 25 = log2 May 2 = 2log2 5;
Și acum „rândul său, peste“ un al doilea logaritm:
[Text de desen]
Din cauza permutarea factorilor nu se schimba produsul, suntem în liniște pentru a se multiplica patru și o egalitate de puncte, și apoi tratate cu logaritmi.
Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log9 100 · 3 lg.
Baza și logaritmul primul argument - gradul precis. Scriem acest lucru și a scăpa de indicatorii:
[Text de desen]
Acum vom scăpa de logaritmului mergând la o bază nouă:
[Text de desen]
identitate logaritmică principal
De multe ori în procesul de soluție necesară pentru a furniza numărul logaritmului bazei specificat. În acest caz, formula ne va ajuta:
În primul caz, numărul n devine exponent, care stă în argumentul. Numărul n poate fi absolut nimic, pentru că este pur și simplu valoarea logaritmului.
A doua formulă - este de fapt parafrazat definiție. Se numește: principala identitate logaritmică.
De fapt, aceasta este, în cazul în care numărul de b ridicat la o astfel de măsură încât numărul de b în acest grad dă numărul de. Asta-i drept: este rândul unui. Citiți cu atenție acest paragraf din nou - mulți pe el „se blochează“.
Ca formule de tranziție la noua bază, identitatea logaritmică principal este, uneori, singura soluție posibilă.
Sarcină. Găsiți valoarea expresiei:
[Text de desen]
Rețineți că 64 log25 = log5 8 - doar scos din baza pătrată și logaritmul argumentului. Având în vedere regulile de multiplicarea puterilor cu aceeași bază, obținem:
[Text de desen]
Dacă cineva nu știe, a fost o adevărată provocare din examen :)
unitate logaritmică și zero logaritmică
În concluzie, voi aduce cele două identități, care sunt proprietăți dificil de nume - mai degrabă, este un corolar al stabilirii logaritmului. Ele sunt întotdeauna găsite în problemele, și, în mod surprinzător, chiar crea probleme pentru studenți „avansate“.
- log a = 1 - este o unitate logaritmică. Amintiți-vă o dată pentru totdeauna, în conformitate cu orice bază logaritm dintr unei baze care este egal cu unitatea.
- log 1 = 0 - zero logaritmică. O bază poate fi orice, dar dacă argumentul este în valoare de o unitate - logaritmul de la zero! Deoarece o 0 = 1 - un rezultat direct al determinării.
Asta-i toate proprietățile. Asigurați-vă că pentru a lucra le pune în practică! Descărcați foaia ieftin de la începutul lecției, o imprimați - și de a rezolva problema.
- Pregătirea gratuită pentru examenul de 7 lecții simple, dar foarte util + teme pentru acasă
