Calcularea integralele definite
Proprietățile integrala definită:
1) În cazul în care $ f (x) \ geq $ 0 în $ pe intervalul [a, b], $ atunci $ \ int \ limits_a ^ bf (x) dx \ geq 0. $
2) Dacă $ f (x) \ leq g (x) $ la $ [a, b] $ este $ \ int \ limits_a ^ bf (x) \, dx \ leq \ int \ limits_a ^ bg (x) \, dx. $
4) În cazul în care $ f (x) $ continuă la $ [a, b], \, \, m - $ mai mic, $ M - $ cel mai mare valori $ f (x) $ la $ [a, b], $ atunci $ $ m (ba) \ leq \ int \ limits_a ^ bf (x) \, dx \ lechiv m (ba) $$ (teorema privind evaluarea unui integral definit).
5) În cazul în care $ f (x) $ este continuă și $ g (x) $ integrabile la $ [a, b], \, \, g (x) \ geq 0. $ $ m $ si $ M - $ cel mai mic și valori mai mari $ f (x) $ la $ [a, b], $ apoi $$ m \ int \ limits_a ^ bg (x) \, dx \ leq \ int \ limits_a ^ bf (x) g (x) dx \ leq M \ int \ limits_a ^ bg (x) \, dx. $$ (teorema generalizată privind evaluarea unei integrale definitive)
6) În cazul în care $ f (x) $ este continua pe $ [a, b], $ atunci există un punct $ c \ (a, b), $ că egalitatea $$ \ int \ limits_a ^ bf (x) dx = f (c) (ba). $$ (valoarea medie teorema)
Număr $ f (c) = frac \ int \ \ limits_a ^ bf (x) \, dx $ numit valoarea medie a funcției $ f (x) $ in $ interval [a, b]. $
7) În cazul în care $ f (x) $ este continua si este integrabilă pe $ [a, b] $ și $ g (x) \ geq 0 $ există un punct $ c \ (a, b), $ că egalitatea $ $ \ int \ limits_a ^ bf (x) g (x) dx = f (c) \ int \ limits_a ^ bg (x) dx $$ (generalizata valoare medie teorema).
9) Integrarea funcțiilor pare și impare în intervalul simetrice. Dacă funcția $ f (x) $ este chiar, atunci $ \ int \ limits_ ^ af (x) dx = 2 \ int \ limits_0 ^ af (x) dx. $ Dacă funcția $ f (x) $ este impar, atunci $ \ int \ limits_ ^ af (x) dx = 0. $
10) Dacă funcția $ f (x) $ continuă la $ [a, b], $ integral cu limita superioară variabilă $$ \ Phi (x) = \ int \ limits_a ^ xf (t) dt $$ este un primitiv pentru funcția $ f (x), $ ie $$ \ Phi '(x) = (\ int \ limits_a ^ x f (t) dt)' = f (x), \ quad x \ în [a, b]. $$
11) Dacă funcția $ \ phi (x) $ si \ $ psi (x) $ diferențiabilă la $ x \ in (a, b) și $ f (t) $ continuă pentru $ \ phi (a) \ leq t \ leq \ psi (b), $ apoi $$ \ stânga (\ int \ limits_ ^ f (t) dt \ dreapta) _x '= f (\ psi (x)) \ psi' (x) -f (\ phi (x)) \ phi „(x). $$
6.364. a) determina semnul integrală, să nu-l calcula: $ \ int \ limits_ ^ 1 \ sqrt [3] \, dx $.
Deoarece funcția $ \ sqrt [3] x $ nui $ (\ sqrt [3] = - \ sqrt [3] x), $ apoi, folosind 9-m proprietate Gets $ \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [3] \ , dx = 0. $ utilizează acum egalitatea $$ \ int \ limits_ ^ 1 \ sqrt [3] \, dx = \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [3] \, dx- \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [ 3] \, dx = - \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [3] \, dx $$.
In mod evident, $ \ sqrt [3] x> 0 $ cu $ x \ in [1, 2]. $ Prin urmare, din primele proprietăți ale integralele definite rezultă că $ \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [3] \, dx> 0. Ca urmare $, $$ \ int \ limits_ ^ 1 \ sqrt [3] \, dx = - \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [3] \, dx<0.$$
6.365. b) Fără a calcula integralele, afla care integralei peste $ \ int \ limits_1 ^ 2 \ Frac $ sau $ \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac. $
Noi folosim a doua proprietate a integralele definite. Pe segmentul $ [1, 2] $ satisface inegalitatea $ \ frac \ geq \ Frac verifica $ this: .. $$ \ frac \ geq \ frac \ rightarrow x ^ 3 \ geq x ^ 2 \ rightarrow x \ geq1 $$ consecință , $$ \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac \ geq \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac. $$ inegalitate strictă este ușor de obținut prin introducerea definită ca suma integralelor $$ \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac = \ int \ limits_1 ^ \ frac + \ int \ limits_ ^ 2 \ frac; $$ $$ \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac = \ int \ limits_1 ^ \ frac + \ int \ limits_ ^ 2 \ frac $$ On $ [1, 3 /. 2] $, inegalitatea $$ \ frac \ geq \ frac \ rightarrow \ int \ limits_1 ^ \ frac \ geq \ int \ limits_ ^ 2 \ frac; $$ pe segmentul $ [3/2, 2] $, inegalitatea $$ \ frac> \ frac \ rightarrow \ int \ limits_1 ^ \ frac> \ int \ limits_ ^ 2 \ frac. $$ De aceea, $$ \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac = \ int \ limits_1 ^ \ frac + \ int \ . limits_ ^ 2 \ Frac> \ int \ limits_1 ^ \ Frac + \ int \ limits_ ^ 2 \ Frac = \ int \ limits_1 ^ 2 \ Frac $$ raspuns: $ \ int \ lim its_1 ^ 2 \ Frac> \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac. $
6366. c) Găsiți valoarea medie a funcției pe un anumit interval: $ \ cos x, \ quad 0 \ leq x \ leq \ pi / 2 $
Noi folosim caracteristica a 6-a integralele definite. Valoarea medie a $ f (x) $ în $ interval [a, b] $ h Numărul numit $ f (c) = frac \ int \ limits_a ^ bf (x) \, dx. $ \
Noi estimăm integrandul:
$$ - 1 \ leq \ sin x \ leq 1 \ rightarrow $$ $$ 3 \ leq 5 + 2 \ sin x \ leq 7 \ rightarrow $$ $$ \ sqrt 3 \ leq \ sqrt \ leq 7 \ rightarrow $$ $ $ \ frac \ leq \ Frac> \ leq \ frac. $$
Din aceasta și a doua proprietate a integralele definite rezultă că
6.370. b) Evaluarea integrală $ \ int \ limits_0 ^ 1 \ sqrt \, dx, $ folosind inegalitatea Cauchy-Schwarz.
Calculăm fiecare în picioare integrală la rădăcina partea dreaptă a ecuației:
6.374. Găsiți derivata următoarea funcție: $ \ Phi (x) = \ int \ limits_0 ^ x \ frac \, dt $.
Folosind proprietățile 10:
6376. Găsiți derivata următoarea funcție: $ \ Phi (x) = \ int \ limits_x ^ 0 \ frac> $.