Care este matricea în algebra liniară

Pachete de algebră liniară și sisteme funcționale

Definiții de bază algebra liniară

Înainte de a porni la vastele posibilități de Maple 7 pachet pe o parte a soluției de probleme de algebra liniară, ia în considerare definițiile succinte referitoare la acestea.

Matricea (m x n) - tabel dreptunghiular dimensional care cuprinde m linii și n coloane de elemente, fiecare dintre acestea putând fi reprezentate printr-un număr, o constantă, variabilă sau expresie matematică simbolice (matrice interpretare largă).

O matrice pătrată - matrice în care numărul m de rânduri egal cu numărul n de coloane. Exemplul matrice pătratică de dimensiune 3x3:

Singular (degenerate) matrice - o matrice pătrată a cărei determinant (determinantul) este 0. O astfel de matrice nu este de obicei simplificat cu calcul simbolic. ecuații liniare cu matrici aproape singulare pot produce erori mari în soluție.

Matricea de identitate - este o matrice pătrată ale cărei elemente diagonale sunt egale cu 1, iar restul elementelor sunt 0. Următoarele este matricea identitate de dimensiune 4x4:

Valorile singulare ale matricei A - rădăcinile pătrate ale autovalorile matricei A T = A, unde A m - (. Vezi definiția de mai jos) se transpusa matricei A transpusa matrice - matrice ale cărei rânduri și schimbarea .stolbtsy. locuri, adică elemente de matrice transpusa satisface condiția A T (i, j) = A (j, i). Aici este un exemplu simplu. Matricea originala:

Inversa Matricea - o matrice -1 M. care, atunci când este multiplicată cu originalul pătrat matricea M, dă matricea identitate E.

Forma în trepte a matricei corespunde condiției în care primul element nenul din fiecare rând este 1, iar primul element nenul apare în dreapta fiecărei linii din primul element nenul din linia anterioară, adică toate elementele de mai jos, un prim rând nenulă - zerouri.

matrice diagonală - Ai aranjat diagonal elemente, i al matricei A. Matricea de mai jos elementele diagonale sunt reprezentate prin litere majuscule:

De obicei, numita diagonal numita diagonalei principale - pentru matricea A, de mai sus, este diagonală cu elementele A, E și L. introdus uneori conceptul sub diagonală (elemente d și k) și deasupra diagonale (elementele b și f). Matrix ale cărui elemente sunt toate dispuse pe diagonalele decât sub diagonală și deasupra diagonalei sunt zero, numita bandă.

Rangul matricei - cea mai mare dintre ordinele minorilor nenule ale unei matrice pătrate.

Trace matricei - suma elementelor diagonale.

Determinantul matricei - un polinom în elementele unei matrice pătratică, fiecare membru al care este produsul de n elemente luate unul câte unul din fiecare rând și fiecare coloană cu semnul produsului, specificați permutarea paritate:

în care M1 - determinantul matricei de ordinul n - 1 obținută din matricea A prin ștergerea primului rând și coloana j DEȘEURILOR. Ca atare, determinantul (cunoscut și ca factor determinant) este ușor pentru a obține în calcul simbolic. În calcule numerice, ne referim la un factor determinant valoarea numerică a acestui polinom.

Matricea în întreaga măsură - matrice pătrată în gradul n (n - număr întreg nenegativ) definit după cum urmează:

E ° = M, M = M 1, M 2 = MM. M n = M n-1 M.

matrice idempotente - matricea corespunzătoare stării 2 = P R.

Matricea simetrică - matricea care corespunde condiției A T A =

Skew-simetrice matrice - matrice corespunzătoare stării A T = -A. Orthogonal matrice - matricea corespunzătoare stării A t = A -1 .Nul matrice - matrice ale cărei elemente sunt toate matrice egale 0.Blok - matrice compusă din matricele de dimensiuni mai mici, pot fi, de asemenea, reprezentat ca o matrice, în care fiecare element - matrice . Un caz particular este un bloc diagonală matrice - bloc matrice, elemente din care matricea este diagonală - matrice nulă.

matrice complexă conjugat - matricea A este obținută din matricea originală prin înlocuirea elementelor sale de conjugat complex. Matricea Hermitian - matricea A care satisface condiția A = .Sobstvenny matrice pătrat Un vector - orice vector xe V“, x * G, satisface ecuația Ax = GX, unde g - un număr numit soluŃiei al matricei A.

Polinomul caracteristic al matricei - factor determinant al diferenței dintre matrice și matricea de identitate, înmulțită cu un polinom variabilă, - | A - gE |. - valori proprii rădăcinile polinom caracteristic. Conceptul generalizat absolute (valori ale normei vectoriale tridimensionale || x || - - Normal. Lungimea normei matricei -. Valoarea Sup (Ax || || / || x ||).

Matricea formează un sistem de ecuații liniare - AX expresie = B, unde A - matricea coeficienților, X - vectorul necunoscutelor și B - vector de membri liberi. O metodă de rezolvare a unui astfel de sistem este evident - X = A -1 V unde A -1 - matricea inversă.