Descărcați soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare
Din fericire, aplicația de foarte multe ori duce la o matrice în care numărul de elemente non-zero, sunt mult mai mici decât numărul total de elemente ale matricei. Aceste matrici sunt numite rare. Una dintre cele mai importante surse de matrice rare sunt modele matematice de dispozitive tehnice, constând dintr-un număr mare de elemente între care comunicarea este locală. Cele mai simple exemple de astfel de dispozitive # 45; structuri de construcții complexe și circuite de mari dimensiuni. Există exemple de probleme rezolvate în ultimii ani, în cazul în care numerele necunoscute ajunge la sute de mii.
Obiectiv: rezolva metodele SLAE "Gauss" ( "1"); și "matrice inversă" ( "2").
1) Ținta № varianta 2;
2) Prelegeri pe algebra și geometria liniară;
3) Manualele privind algebra și geometria liniară;
4) aplicații electronice de birou MS Word, MS Excel; Math Cad
1) Pentru a studia materialul teoretic „“, „“;
2) Rezolva SLAE cu "1";
3) Solve metoda SLAE "2";
4) rezolva sisteme liniare cu funcții încorporate MS Excel;
5) Procedați cu orientările Raman;
O idee a priori a modelului:
Sistemul de ecuații algebrice liniare de dimensiune 8 * 8
Se obțin rezolvarea metodelor liniare „1“ și „2“;
Criteriile de evaluare a rezultatelor
1) metoda „1“ și metoda „2“ da aceleași rezultate;
2) Rezultatele obținute când substituitul în setul original de ecuații algebrice liniare da soluția corectă.
sistem liniar de ecuații scrise în formă de matrice și rezolvate folosind metoda Gauss și o matrice inversă.
concepte de bază
Ecuația se numește liniară, în cazul în care conține necunoscut numai în primul grad și conține lucrări de necunoscut, adică, în cazul în care are forma:
numit coeficienții ecuației, numit termenul liber. În cazul în care. atunci ecuația se numește omogen. În caz contrar, ecuația se numește eterogen.
În această secțiune vom considera un sistem de ecuații liniare cu necunoscute, și anume, tip de sistem:
Notat˘a prin A și A * matricea următoare:
Matricea A este matricea primară a sistemului (1) și matricea A * - matrice extinsă de sistem (1).
Fie X - matricea coloană a necunoscutele, B - matricea coloană de termeni absoluți, adică
Apoi, sistemul (1) poate fi scrisă ca ecuația matricei A * X = B. Se numește forma matricea sistemului (1).
Un set ordonat de numere se numește o soluție a sistemului (1), în cazul în care devine o identitate fiecare ecuație. Dacă sistemul de ecuații liniare are cel puțin o soluție, atunci aceasta se numește o articulație. Sistemul de ecuații liniare nu are soluții, numite inconsistente.
În cazul în care sistemul este consistent, atunci are fie o soluție sau un set de soluții. Sistemul are o soluție unică numită sigur. Sistem având o multitudine de soluții, numită incertă.
Schimbul de criterii și definirea unui sistem care să furnizeze următoarele două teoreme.
Teorema (Kronecker-Capelli). Sistemul de ecuații liniare (1) este consistentă dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este rangul matricea sa extins, adică
Teorema (criteriul unicitatea solutiei). Sistemul de ecuații liniare (1) are o soluție unică dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este rangul matricea sa extins și este egal cu numărul de variabile, adică
matrice inverse Metoda
Să considerăm matricea pătrată
sistem algebra computațională de ecuații
denota # 68; = Det A.
O matrice pătrată A se numește nedegenerat sau nesingular dacă determinantul său este diferit de zero și degenerate, sau mai ales dacă # 63; = 0.
In matricea pătrată se numește inversa unei matrice Un pătrat de același ordin, în cazul în care produsul A = B A = E, unde E # 45; unitate matrice de același ordin ca și matricea A și B.
Teorema Pentru ca matricea A avut opusul este necesar și suficient ca determinant sa fie diferit de zero.
Matricea inversă A, notată cu A # 63; 1, astfel încât B = A # 63; 1. Matricea inversă se calculează cu formula:
unde A i j # 45; cofactori elemente j i.
Calculul matricei inverse pentru o matrice de ordin superior este foarte dificil, astfel încât, în practică, este convenabil să se găsească o matrice inversă prin metoda transformărilor elementare (VC). Orice matrice A non-singular de EPO poate conduce doar la coloanele matricei de identitate (sau rânduri numai) E. Dacă comise deasupra matricei A VC în același mod ca cel aplicat unității matricei E, rezultatul va fi matricea inversă. Este convenabil să se efectueze EP pe matrici A și E, în același timp, înregistrarea matricei aproape deasupra liniei. Rețineți din nou că, atunci când găsirea forma canonică a matricei, în scopul de a găsi rangul ei pot folosi transformări de rânduri și coloane. Dacă doriți să găsiți inversa unei matrice, numai rânduri sau numai coloanele care urmează să fie utilizate în procesul de transformare.