Soluție ecuații logaritmice

Ecuația logaritmică este o ecuație în care necunoscut (x) și expresia sunt sub semnul funcției logaritmice. Soluția ecuații logaritmice presupune că sunteți deja familiarizați cu conceptul și tipurile de logaritmi și formule de bază.






Cum de a rezolva ecuații logaritmice?

Cea mai simplă ecuație este LOGA x = b. unde a și b sunt anumit număr, x - necunoscut.
Decizia ecuație logaritmică este x = a b prevăzut: a> 0, 1.

Trebuie menționat faptul că, dacă x va fi undeva în afara logaritmul, de exemplu log2 x = 2, ecuația este deja amestecat și a solicitat soluția sa necesită o abordare specială.

Cazul ideal este atunci când găsești o ecuație în care logaritmul sunt doar numere, cum ar fi x + 2 = log2 2. Aici este suficient să se cunoască proprietățile logaritmi pentru ao rezolva. Dar acest succes nu se întâmplă de multe ori, astfel încât să fie pregătite pentru lucruri mai complicate.

Dar, mai întâi, toate la fel, să începem cu niște ecuații simple. Pentru a rezolva aceste probleme, este de dorit să aibă o idee generală a logaritmului.

Soluția este ecuații logaritmice simplu

Acestea includ tipul de ecuație x = log2 log2 16. ochiul liber se poate vedea că scăderea logaritmului obținem x = 16.

Pentru rezolvarea ecuației logistice mai complexe, ei de obicei duce la rezolvarea ecuației algebrice convenționale sau la soluția de simplă ecuație logaritmică x = b LOGA. Simplă ecuație se întâmplă într-o singură mișcare, astfel încât acestea sunt numite protozoare.

Metoda Vysheispolzovanny de scădere a logaritmilor este una dintre principalele modalități de a rezolva ecuații logaritmice și inegalități. În matematică, această operație se numește potențarea. Există anumite reguli și restricții pentru astfel de operațiuni:

• aceeași bază numerică în logaritmi
• logaritmi de pe ambele părți ale ecuației sunt disponibile, de exemplu, fără factori de fel și alte tipuri diferite de expresii.

De exemplu, în log2 ecuație x = 2log2 (1- x) potențare aplicabil - coeficientul 2 pe dreapta nu permite. Următorul exemplu log2 x + log2 (1 - x) = log2 (1 + x), este de asemenea una dintre limitările - lăsate două logaritm. Aici ar fi una - este o altă problemă!

În general, logaritmi curate numai cu condiția ca ecuația este:

Parantezele pot fi expresii complet arbitrare, pentru funcționarea potențării nu este absolut afectată. Și după eliminarea logaritmilor va fi o ecuație simplă - liniară, pătratică, exponențială, etc. aveți, sper, să fie capabil să rezolve.

Luați un alt exemplu:

Aplică potențarea, obținem:

Hai. Să ne rezolve următorul exemplu:

Pe baza definiției logaritmului, și anume, că jurnalul - acel număr care este necesar pentru a construi o bază, pentru a obține o expresie, care este logaritmul, adică (4, 1), obținem:

Mai mult o chestiune de tehnologie:

Din nou am primit un răspuns frumos. Aici, am făcut fără eliminarea logaritmi, dar potențarea se aplică aici, pentru că așa cum logaritm poate fi făcută de la orice număr, și este una care avem nevoie. Această metodă este foarte utilă în rezolvarea ecuațiilor logaritmică și inegalități în particular.

Rezolvam logaritmică nostru log3 ecuația (2x-1) = 2 prin potențarea:

Noi reprezentăm numărul 2 ca logaritm, de exemplu, astfel de log3 9, deoarece 03 februarie = 9.

Apoi log3 (2x-1) = log3 9 și din nou obține toate aceeași ecuație 2x-1 = 9. Sper ca totul este clar.

Așa că ne-am uitat la modul de a rezolva ecuații logaritmice simple, care sunt de fapt foarte important, deoarece decizia de ecuații logaritmice. Chiar și cele mai teribile și răsucite în cele din urmă întotdeauna vine în jos pentru a rezolva ecuații simple.

În tot ce am făcut mai sus, pierdem din vedere un punct foarte important în viitor va avea un rol decisiv. Faptul că decizia oricare din ecuație logaritmică, chiar și cele mai de bază, este format din două părți egale. În primul rând - o soluție de sine, al doilea - lucrul cu domeniul valorilor admisibile (DHS). Asta e doar prima parte ne-am însușit. În exemplele de mai sus DHS pentru a răspunde nu afectează, așa că ne-am uitat la ea și nu a făcut-o.

Dar să luăm un alt exemplu:

Aparent, această ecuație nu diferă de elementare, care pot fi rezolvate cu succes foarte. Dar acest lucru nu este adevărat. Nu, cu siguranță că va rezolva, dar probabil greșit, pentru că în ea se află o ambuscadă mică, care imediat prins și troechniki și onoruri. Să ne uităm la ea mai aproape.

Să presupunem că aveți nevoie pentru a găsi rădăcina suma rădăcinilor sau, în cazul în care există mai multe:

Aplicare potențarea, este permisă. Ca rezultat, obținem ecuația de gradul doi de obicei.

Noi găsim rădăcinile ecuației:

Sa întâmplat două rădăcini.

La prima vedere, bine. Dar să verifice rezultatul și-l substituie în ecuație originală.

Testul este de succes, iar acum toate x2 = -1:

Deci, oprește-te! Aparent, totul este perfect. Un lucru mai mult - logaritmilor numerelor negative nu există! Aceasta înseamnă că rădăcina x = -1 nu este potrivit pentru soluțiile ecuației. Și astfel răspunsul corect este de 3, nu 2, așa cum am scris.

A fost apoi, și a jucat un rol fatal al DHS, pe care le-am uitat.

Să ne amintim că zona de sub valorile valide sunt acceptate aceste valori ale lui x, care sunt activate sau au un sens pentru exemplul inițial.

DHS fără nici o decizie, chiar absolut corectă, orice ecuație se transformă într-o loterie - 50/50.

Cum suntem capabili de a obține în rezolvarea exemplu aparent elementar? Dar, în momentul potențării. Logaritmi a dispărut, și cu ei toate restricțiile.

Ce este de făcut? Abandonați eliminarea logaritmilor? Și abandoneze complet soluția acestei ecuații?

Nu, ne place doar adevărații eroi ai unuia dintre celebrul cântec, du-te la ocolul!

Înainte de a putea începe să abordeze orice ecuații logaritmice va fi scris DHS. Dar numai după aceea se poate face cu ecuația noastră tot ce dorește inima ta. După ce a primit răspunsul, doar aruncam acele rădăcini, care nu sunt incluse în DHS noastră, și scrie versiunea finală.

Acum, determină modul în care înregistrarea DHS. Pentru a face acest lucru, verificați cu atenție ecuația originală și uita-te la ea locuri suspecte, cum ar fi împărțiți x, rădăcina chiar grad, etc. Până în prezent, nu am rezolvat ecuația, nu știm - care este egal cu x, dar știu că astfel de x, care atunci când este substituită va împărți cu 0 sau rădăcina pătrată a unui număr negativ, răspunsul este, cu siguranță, în nici un bun. Prin urmare, aceste x inacceptabile, iar restul va fi TCC.

folosesc din nou aceeași ecuație:

După cum puteți vedea, nu există nici o diviziune de 0, și rădăcini pătrate, dar sunt expresii cu logaritmul x în organism. Apoi, amintiți-vă că expresia este în interiorul jurnalului, trebuie să existe întotdeauna> 0. Această condiție și scrie DHS:

Ie nu am decis nimic, dar a înregistrat o condiție esențială pentru orice expresie podlogarifmennoe. Brace înseamnă că trebuie să fie îndeplinite simultan aceste condiții.

DHS este înregistrată, dar este necesar, de asemenea, pentru a rezolva sistemul rezultat al inegalităților, ce urmează să facă. Obținem răspuns x> v3. Acum se știe - ceea ce nu ne-se potrivesc. Și atunci trebuie să înceapă decizia ecuației logaritmice, pe care am făcut-o mai sus.

După ce a primit răspunsuri x1 = 3 și x2 = -1, este ușor pentru a vedea ceea ce ne convine doar x1 = 3, și scrie-l ca răspunsul final.

Pentru viitor, este important să ne amintim următoarele: decizia cu privire la orice ecuații logaritmice face în 2 etape. În primul rând - vom rezolva ecuația în sine, al doilea - o condiție decisivă pentru DHS. Ambele faze sunt efectuate în mod independent unul față de celălalt și numai atunci când scrieți răspunsul potrivit, și anume Noi respingem toate inutile și scrie răspunsul corect.